参考视频：https://www.bing.com/videos/search?q=a+computational+approach+to+edge+detection&docid=608014236869751913&mid=8C04384FFDD6A47533238C04384FFDD6A4753323&view=detail&FORM=VIRE
参考文献：A Computational Approach to Edge Detection

Edge Detection Using Gradients

1D边缘检测

边缘可以理解为一个小区域中图像强度的快速变化，假设f(x)的图像图下图所示：

那么很容易发现里面有2个边缘，一个上升一个下降的。
如果从梯度的角度进行理解，这两个边缘处在f(x)导数不为0的区域，其导函数如下图所示：

如果对导数取绝对值，那么可以发现边缘就处在峰值出现的地方。

2D边缘检测

推广一下1D的情况，在1D的情况下我们使用的是一阶导数，那么到了2D的情况，对应的就是偏导数，如果像素的位置用(x,y)表示，像素值用I(x,y)表示，那么I对x的偏导数就表示了在x方向上变化的速度，同理对y的偏导也是一样的，如果同时考虑2个偏导数，那么就是梯度向量$\nabla I$：
$$\nabla I=[\frac{\partial I}{\partial x},\frac{\partial I}{\partial y}]$$
下图展示了y方向上没有变化、x方向上没有变化以及两个方向都发生了变化的三种情况：

基于梯度我们可以定义梯度的大小和方向：
$$S=||\nabla I||=\sqrt{{(\frac{\partial I}{\partial x})}^2+{(\frac{\partial I}{\partial y})}^2}$$
$$\theta =ta{n}^{-1}(\frac{\partial I}{\partial y}/\frac{\partial I}{\partial x})$$

离散化

由于真实处理的图像都是离散的像素点，因此我们要将导数都变成近似的离散值的计算，假设我们使用4个像素值来近似，那么如下式：
$$\frac{\partial I}{\partial x}\approx \frac{1}{2ϵ}((I_{i,j+1}-I_{i+1,j+1})+(I_{i+1,j}-I_{i,j}))$$
$$\frac{\partial I}{\partial y}\approx \frac{1}{2ϵ}((I_{i+1,j+1}-I_{i+1,j})+(I_{i,j+1}-I_{i,j}))$$
其中，$ϵ$是2个轴上的变化量。
图示：

可以发现，上面的式子是可以用卷积进行表示的：

把这种卷积称为梯度算子（Gradient Operators），实际上，我们还可以衍生出更多不同效果的梯度算子：

小的梯度算子和大的有什么区别？

小的算子可能会被局部的微小噪音干扰，而大的则对小噪音没有那么敏感，但是大的算子也会受到距离较远的像素的影像，localization没有小的算子好。

边缘阈值

如果要判断一个像素是不是属于边缘，那么就需要定义一个阈值，如果像素的梯度大小比阈值大，那么才认为是边缘：
$$||\nabla I(x,y)||\ge T$$
这是标准的方法，同时也可以定义一种类似于磁滞回线的方法，可以定义2个不同的阈值$T_0$和$T_1$：

1. 如果梯度大小小于$T_0$，那么认为不是边缘。
2. 如果梯度大小大于等于$T_1$，那么认为肯定是边缘。
3. 如果在中间，那么当临近的像素是边缘的时候才认为它也是边缘。

效果如下图：