AVL树
- 1. AVL树的概念
- 2. AVL树节点的定义
- 3. AVL树的插入思路
- 4. AVL树的平衡调整思路
- 平衡因子更新思路
- LL型——右单旋
- RR型——左单旋
- LR型——左右旋
- RL型——右左旋
- 5. AVL树插入判断平衡调整类型
- 6. AVL树插入的代码实现
- 7. AVL树总结
- 8. AVL树的验证
- 9. AVL树的性能
1. AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
【定义】
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O
(
l
o
g
2
n
)
O(log_2 n)
O(log2n)，搜索时间复杂度O(
l
o
g
2
n
log_2 n
log2n)。
平衡因子：右子树高度-左子树高度
2. AVL树节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
};
3. AVL树的插入思路
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
4. AVL树的平衡调整思路
平衡因子更新思路
【代码框架】
- 旋转原则：保持二叉搜索树的性质
- 旋转目的：左右均衡，降低整颗树的高度
旋转类型
LL型——右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，
导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 - 平衡因子此时变成0
【代码实现】
void RotateR(Node* parent)
{
assert(parent != nullptr);
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
//更新链接关系
parent->_left = subLR;
subL->_right = parent;
//维护_parent指针
if (subLR != nullptr)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
//链接ppnode和subL之间的关系
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
//更新平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
RR型——左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
assert(parent != nullptr);
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
//更新链接关系
parent->_right = subRL;
subR->_left = parent;
//维护_parent指针
if (subRL != nullptr)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
//链接ppnode和subL之间的关系
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
//更新平衡因子
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
LR型——左右旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
RL型——右左旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subL->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
5. AVL树插入判断平衡调整类型
6. AVL树插入的代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
/**********插入思路**************************************************************
* 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
* 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
* 破坏了AVL树的平衡性，失去平衡的话，需要进行平衡调整
********************************************************************************/
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)//查找插入位置
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//确定链接关系
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first>kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//检查是否平衡
//……
/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
*/
while (parent)
{
//更新平衡因子
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//判断是否需要进行旋转
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//继续向上调整平衡因子
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//不平衡，进行旋转降低高度
if (parent->_bf == 2&& cur->_bf == 1)//RR型
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//LL型
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//RL型
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//LR型
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
7. AVL树总结
8. AVL树的验证
- 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 - 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确
9. AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
引出了红黑树的概念，相对平衡，且旋转次数较少！
