大数定律与中心极限定理

news2025/11/4 17:02:07

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Chebyshev 不等式

$P(|X-\mu|\geq a)\leq \frac{DX}{a^2}$

（弱）大数定律

Markov 大数定律

Chebyshev 大数定律

独立同分布大数定律

Bernoulli 大数定律

Khinchin 大数定律

中心极限定理

Lindeberg-Levy 中心极限定理

如果 $\begin{Bmatrix} X_n \end{Bmatrix}$ 独立同分布，且 $EX=\mu,DX=\sigma^2>0$ ,且n足够大时， $\bar{X_n}$ 近似服从正态分布 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ ,即：

$\lim_{n\rightarrow \infty}P(\frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<a)=\Phi (a)$

De Moivre-Laplace中心极限定理

三种分布

卡方分布

$\begin{matrix} X_1,X_2,..\sim N(0,1)\\ \chi ^2(n)=\sum_{i=1}^nX_i^2 \end{matrix}$

卡方分布的性质

自由度为n的卡方分布也为参数为 $(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 的Gamma 分布
可加性
- 相互独立的 $\chi_1^2(n),\chi^2_2(m)$ ,满足 $\chi_1^2(n)+\chi_2^2(m)=\chi^2(m+n)$

学生分布（X，Y相互独立）

$\begin{matrix} X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n)\\ t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \end{matrix}$

学生分布的性质

n>45, $t_p(n)\approx u_p$

F分布（X，Y相互独立）

$\begin{matrix} X\sim\chi^2(n),Y\sim\chi^2(m)\\ F=\frac{X/n}{Y/m} \end{matrix}$

F分布的性质

$F_p(n,m)=\frac{1}{F_{1-p}(m,n)}$

抽样分布定理

定理一

$\begin{matrix} Sample\,X_1,X_2,X_3,...\,come\,from\,normal\,population\,N(\mu,\sigma^2)\\ then\,(1)\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\\ (2)\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) \end{matrix}$

推论

$\begin{matrix} Samples\,from\,any\,population\,satisfy\,that\\ (1)E\bar{X}=E(X)\\ (2)D\bar{X}=DX/n \end{matrix}$

定理二

$\begin{matrix} samples\,X_1,X_2,...\,come\,from\,normal\,populations\,N(\mu,\sigma^2),then\\ (1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\\ (2)\bar{X}\,and\,S^2\,are\,independent\,variables \end{matrix}$

定理三

$\begin{matrix} samples\,X_1,X_2,...\,come\,from\,normal\,populations\,N(\mu,\sigma^2),then\\ t=\frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n})}\sim t(n-1)\\ \end{matrix}$

定理四：两个正态总体下的抽样分布定理

$\begin{matrix} there\,are\,two\,populations\,X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\\ then:S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\\ T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) \end{matrix}$

参数估计

正态总体下参数的置信区间

已知 $\sigma^2=\sigma_0^2$ ，求总体均值 $\mu$ 的置信区间

$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} \right ) \end{matrix}$

$\sigma^2$ 未知，求总体均值 $\mu$ 的置信区间

$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \bar{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}} \right ) \end{matrix}$

$\mu$ 未知时，总体方程 $\sigma^2$ 的置信区间

$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} ,\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}\right ) \end{matrix}$

两个正态总体下参数的置信区间

$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 都已知，求总体均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间

$\left ( \bar{X}-\bar{Y}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \bar{X}-\bar{Y}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right )$

$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 都未知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ ，求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间

$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$

$\left ( \bar{X}-\bar{Y}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \bar{X}-\bar{Y}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right )$