【C++学习】日积月累——二叉搜索树详解

news2025/11/4 16:36:18

一、二叉搜索树

1.1 二叉搜索树概念

  二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵树，或者是具有以下性质的二叉树：

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值大于根节点的值；
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树。

1.2 二叉搜索树的相关案例

图1 二叉树

  在图1所示的二叉树a和b，两棵树都不符合1.1节二叉搜索树的性质。a中，根结点6的左子树上所有结点都大于根结点的值；b中，根结点98的左子树上所有结点的值都小于根结点的值；因而图1的二叉树a和二叉树b都不是二叉搜索树。

图2 标准二叉搜索树

此外，图2的二叉树相关结点完全切合二叉搜索树的性质，因而图2是标准的二叉搜索树。

二、二叉搜索树的操作

  以图2的标准二叉搜索树为例，需要使用到数组arr，[] = {8,3,1,10,6,4,7,14,13}。

2.1 二叉搜索树的查找

查找的具体过程如下：

从根结点开始比较、查找，比根结点大则往右“边走边查找”，比根小则往左“边走边查找”；

最多查找高度次，走到空，若还没找到，则这个值不存在。

2.2 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

  • 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针；
  • 树不为空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新结点；

图3 二叉搜索树的插入

  在图3中，以在二叉树中插入数值1和16为例，依据插入的具体过程规则当树不为空时，根据二叉搜索树的性质找到结点，并插入新节点，本案例按照中序排序进行排序。调试结果如图4所示，具体代码详见第三节二叉搜索树的实现。

图4 调试结果

2.3 二叉搜索树的删除

  首先，查找元素是否在二叉搜索树中，若不存在则返回；否则要删除的结点可能分以下四种情况：

  • a.要删除的结点无孩子；
  • b.要删除的结点只有左孩子；
  • c.要删除的结点只有右孩子；
  • d.要删除的结点有左、右孩子结点；

对于上述四种情况，实际情况a可以与情况b或c合并，归纳总结删除的过程如下：

  • 情况b：删除该结点且使被删除结点的双亲结点指向被删除结点的左孩子结点 – 直接删除；
  • 情况c：删除该结点且使被删除结点的双亲结点指向被删除结点的有孩子结点 – 直接删除；
  • 情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点（关键码最小），用它的值填补到被删除结点中，再来处理该节点的删除问题 – 替换法删除

具体逻辑详见第三部分二叉搜索树的代码实现。

三、二叉搜索树的实现

二叉搜索树的实现包含两个文件：BSTree.h和Test.c。以下分别为头文件和测试文件：

#pragma once
//二叉索树的结点（结构）
template<class K>
struct BSTreeNode {
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};

//二叉搜索树
template<class K>
class BSTree {
	typedef BSTreeNode<K> Node;//重命名
public:
	//BSTree()
	//	:_root(nullptr)
	//{}

	BSTree() = default;//默认构造函数

	BSTree(const BSTree<K>& t) {
		_root = Copy(t._root);
	}//拷贝构造

	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) {
		swap(_root, t._root);
		return *this;
	}//赋值函数

	~BSTree() {
		Destroy(_root);
	}//析构函数

	bool Insert(const K& key) {
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(key);
			return true;
		}//判断根结点是否为空，为空则开辟一个新节点

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
        //寻找插入的位置
		while (cur) {
			if (cur->_key < key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(key);
        //链接
		if (parent->_key < key) {
			parent->_right = cur;
		}
		else {
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}

	Node* Find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_key < key) {
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key) {
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	//删除比较复杂，需要考虑因素较多
    bool Erase(const K& key) {
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_key < key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				//delete
				if (cur->_left == nullptr) {
                    //解决根节点删除
					if (cur == _root) {
						_root = cur->_right;
					}
					else {
						if (parent->_left == cur) {
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else {
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;
				}
				else if (cur->_right == nullptr) {
                    //同样解决cur的右为空，其本质为根节点时的删除
					if (cur == _root) {
						_root = cur->_left;
					}
					else {
						if (parent->_left == cur) {
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else {
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;
				}
				else {
                    //需要删除的结点拥有2各子结点或叶子
					Node* pminRight = cur;
					Node* minRight = cur->_right;

					while (minRight->_left) {
						pminRight = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_key = minRight->_key;
					if (pminRight->_left == minRight) {
						pminRight->_left = minRight->_right;
					}
					else {
						pminRight->_right = minRight->_left;
					}

					delete minRight;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

	bool FindR(const K& key) {
		return _FindR(_root, key);
	}

	bool InsertR(const K& key) {
		return _InsertR(_root, key);
	}

	bool EraseR(const K& key) {
		return _EraseR(_root, key);
	}

	

protected:
	Node* Copy(Node* root) {
		if (root == nullptr) {
			return nullptr;
		}

		Node* newRoot = new Node(root->_key);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);
		return newRoot;
	}

	void Destroy(Node*& root) {
		if (root == nullptr) {
			return;
		}

		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);
		delete root;
		root = nullptr;
	}


	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr) {
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool _FindR(Node* root, const K& key) {
		if (root == nullptr) {
			return false;
		}

		if (root->_key < key) {
			return _FindR(root->_right, key);
		}
		else if (root->_key > key) {
			return _FindR(root->_left, key);
		}
		else {
			return true;
		}
	}

	bool _InsertR(Node*& root, const K& key) {
		if (root == nullptr) {
			root = new Node(key);
			return true;
		}

		if (root->_key < key) {
			return _InsertR(root->_right, key);
		}
		else if (root->_key > key) {
			return _InsertR(root->_left, key);
		}
		else {
			return false;
		}
	}


	bool _EraseR(Node* root, const K& key) {
		if (root == nullptr) {
			return false;
		}

		if (root->_key < key) {
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		else if (root->_key > key) {
			return _EraseR(root->_left, key);
		}
		else {
			Node* del = root;
			if (root->_left == nullptr) {
				root = root->_right;
			}
			else if (root->_right == nullptr) {
				root = root->_left;
			}
			else {
				Node* maxleft = root->_left;
				while (maxleft->_right) {
					maxleft = maxleft->_right;
				}

				swap(root->_key, maxleft->_key);
				return _EraseR(root->_left, key);
			}
			delete del;

			return true;
		}
	}

private:
	Node* _root;
};

测试文件：

#include<iostream>
using namespace std;

#include"BSTree.h"
void test_binaryTree01() {
	BSTree<int> t1;
	int arr[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };
	for (auto e : arr) {
		t1.Insert(e);
	}
	t1.InOrder();

	BSTree<int> t2;
	for (auto i : arr) {
		t2.InsertR(i);
	}
	t2.InOrder();

	t1.Erase(7);
	t1.InOrder();

	t1.Erase(14);
	t1.InOrder();

	t1.Erase(3);
	t1.InOrder();

	t1.Erase(8);
	t1.InOrder();
}

void test_binaryTree02()
{
	int arr[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };
	BSTree<int> t1;
	for (auto e : arr) {
		t1.Insert(e);
	}
	t1.InOrder();

	BSTree<int> t2(t1);
	t2.InOrder();
}

测试文件的test_binaryTree01()函数的调试结果：

图5 二叉搜索树的增删调试结果

四、二叉搜索树的应用

1、K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值。

例如：给一个单词world，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

  • 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一颗二叉搜索树；
  • 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误；

2、KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值value，即<key,value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：

  • 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word,chinese>就构成一种键值对；
  • 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word,count>就构成一种键值对。
namespace KeyValue {
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode {
		BSTreeNode<K, V>* _left;
		BSTreeNode<K, V>* _right;
		K _key;
		V _value;

		BSTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V())
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			, _value(value)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	class BSTree {
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;
	public:
		BSTree() = default;

		~BSTree() {
			Destroy(_root);
		}

		Node* Find(const K& key) {
			Node* cur = _root;
			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}

		bool Insert(const K& key, const V& value) {
			if (_root == nullptr) {
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key,value);
			if (parent->_key < key) {
				parent->_right = cur;
			}
			else {
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

		bool Erase(const K& key) {

		}

		void InOrder() {
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

	protected:
		void Destroy(Node*& root) {
			if (root == nullptr) {
				return;
			}

			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
			root = nullptr;
		}

		void _InOrder(Node* root) {
			if (root == nullptr) {
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root;
	};

}

//测试文件
void test_binaryTree03() {
	KeyValue::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("string", "字符串");
	dict.Insert("tree", "树");
	dict.Insert("left", "左边、剩余");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("sort", "排序");

	string str;
	while (cin >> str) {
		KeyValue::BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
		if (ret == nullptr) {
			cout << "单词拼写错误，词库中没有这个单词：" << endl;
		}
		else {
			cout << str << "中文翻译：" << ret->_value << endl;
		}
	}
}

void test_binaryTree04() {
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };

	KeyValue::BSTree<string, int> countTree;
	for (auto str : arr) {
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret == nullptr) {
			countTree.Insert(str, 1);
		}
		else {
			ret->_value++;
		}
	}
	countTree.InOrder();
}

前面KV模型的代码实现的调试结果具体如下图6所示：

图6 KV模型实例一

test_binaryTree04()为KV模型实例二，具体的调试结果详见图7：

图7 KV模型实例二

总结

二叉搜索树的性能分析：

  插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对拥有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多；但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

图8 二叉搜索树的两种形态

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉搜索树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为： l o g N log N logN

最差情况下，图8的右图所示：二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其平均比较次数为：$ \frac{N}{2} $

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