（最新版2022版）剑指offer之动态规划题解
- [剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和]
- [剑指 Offer 47. 礼物的最大价值]
- [剑指 Offer 46. 把数字翻译成字符串]
- [剑指 Offer 48. 最长不含重复字符的子字符]
- [剑指 Offer 48. 矩形覆盖]
- [剑指 Offer 买卖股票的最好时机(一)]
[剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和]
输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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如果使用暴力搜索，时间复杂度就是O(n^2),动态规划为本题的标准解法
根据动态规划五部曲，我们先要对状态进行定义，我定义dp[i]表示nums[i]结尾的子数组它的最大和；
然后分析一下状态转移方程
- 若**dp[i-1] < 0,**则说明dp[i-1]对后面的累加做负贡献，不如重新开始时计数 ,所以 dp[i] = nums[i];
- 若dp[i -1] > 0,则说明dp[i-1]对后面的累加做正贡献，dp[i] = dp[i-1] + nums[i];
或者使用最干脆利落的方法，反正要获取最大值，不如**Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])**自己判断
在看一下代码
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length+1];//表示数组下标到i的最大值
dp[0] = nums[0];
int ans = nums[0];
for(int i=1; i<nums.length; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//让它自己做判断也可
ans = ans > dp[i] ? ans : dp[i];
}
return ans;
}
}
[剑指 Offer 47. 礼物的最大价值]
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
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这题就是robot如何走到终点那题，这题的关键在于如何处理左边界和上边界的特殊情况，由于它是边，它的状态转移来源只有一种，不像是非边的坐标，它有可能从上边来，也有可能从左边来；
处理方法有三种
- 最笨的法子，if判断一下是不是边界，如果是状态转移特殊处理
- 初始化边界，我先用for循环把，边界的dp值求好
- 巧妙的方法，额外加一条虚拟边界，初始化为零即可
下面展示一下第三种方法的代码
class Solution {
public int maxValue(int[][] grid) {
//状态分析
//由左边或者上边的状态转移而来
int m= grid.length;
int n = grid[0].length;
int[][] dp = new int[m+1][n+1];
//状态初始化 ：java对象创建的过程中会自动初始化零值，所以这里不需要初始化
for(int i=1; i<=m; i++){
for(int j=1; j<=n; j++){
//因为有一条虚拟边界，直接遍历就好了
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j]+grid[i-1][j-1],dp[i][j-1]+grid[i-1][j-1]);
}
}
return dp[m][n];
}
}
[剑指 Offer 46. 把数字翻译成字符串]
给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。
输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"
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动态规划五部曲分析它
-
先定义dp[i]为到子串i为止有多少种翻译方法，注意，根据做题的需要我们可以改
-
状态转移方程：
-
如果当前数字和上一个数字构成的数字落在区间**[10,25]**内，说明可以通过两位数表示字母构成一种方案
此时的dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
-
相反，两位数如果不落在**[10,25]**内则说明，方案数没有变化，dp[i] = dp[i-1]
-
-
状态初始化：要两个初始状态dp[i-1]和dp[i-2],但是，我们的数组下标是从零开始的，i等于1的时候，dp[i-2]就会出现越界的情况，就两种解决方案，一种是特殊处理i=1的情况；另一种是比较取巧的方法，让dp[i]表示nums[i-1]为止有多少种翻译方法，这样就会空闲出像是哨兵一样的位置dp[0]，我们再根据需要把他初始化为1，之后的遍历就非常容易了。
-
遍历过程：dp[i]由dp[i-1]和dp[i-2]转移而来从小到大遍历就好
看看代码
public static int translateNum(int num) {
char[] ch = String.valueOf(num).toCharArray();
int len = ch.length;
int[] dp = new int[len + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= len; i++){
int n = (ch[i - 2] - '0') * 10 + (ch[i - 1] - '0');
if(n >= 10 && n <= 25){
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}else{
dp[i] = dp[i - 1];
}
}
return dp[len];
}
以下代码是使用了滚动数组来优化空间，本质还是动态规划，因为只涉及到dp[i]、dp[i-1]、dp[i-2]三种状态
class Solution {
public int translateNum(int num) {
String s = String.valueOf(num);
int a = 1, b = 1;
for(int i = 2; i <= s.length(); i++) {
String tmp = s.substring(i - 2, i);
int c = tmp.compareTo("10") >= 0 && tmp.compareTo("25") <= 0 ? a + b : a;
b = a;
a = c;
}
return a;
}
}
值得补充的是，我清楚compareTo方法来自Comparable接口还是Comparator接口，以及这二者的区别我也不是很了解，查阅了一下
Comparable -> compareTo
Comparator -> compare
二者的区别与联系
Comparable相当于“内部比较器”，经常用于有序映射或者有序集合的排序
而Comparator相当于“外部比较器”，通常使用匿名内部类或者说lambda表达式实现对象的比值。
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因为不是动态规划具体要了解的内容，我以后再专门总结一下这两者的使用
[剑指 Offer 48. 最长不含重复字符的子字符]
题外话：面字节实习的时候就是这一题
例如abcabcbb的最长不重复子字符串就是abc，所以输出长度3
**思路：hashmap + 双指针 **
class Solution {
public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
int i = -1, res = 0;
for(int j = 0; j < s.length(); j++) {
if(dic.containsKey(s.charAt(j)))
i = Math.max(i, dic.get(s.charAt(j))); // 更新左指针 i
dic.put(s.charAt(j), j); // 哈希表记录
res = Math.max(res, j - i); // 更新结果
}
return res;
}
}
思路：hashmap + 动态规划
动态规划状态分析
i表示左边出现重复的索引
- j - i <= dp[j-1]: i在子串中出现了，dp[i] = j -i
- j - i > dp[j -1]: i 没在子串中出现 , dp[i] = dp[i-1]+1;
由于dp[i]的状态只有dp[i-1]转移而来，所以可以用滚动数组来记录dp数组
class Solution {
public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
int res = 0, tmp = 0;
for(int j = 0; j < s.length(); j++) {
int i = dic.getOrDefault(s.charAt(j), -1); // 获取索引 i
dic.put(s.charAt(j), j); // 更新哈希表
tmp = tmp < j - i ? tmp + 1 : j - i; // dp[j - 1] -> dp[j]
res = Math.max(res, tmp); // max(dp[j - 1], dp[j])
}
return res;
}
}
[剑指 Offer 48. 矩形覆盖]
public class Solution {
public int rectCover(int target) {
if(target == 0 || target == 1 || target == 2){
return target;
}
//状态转移方程：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
int pre = 1;
int cur = 2;
int res = 0;
for(int i = 2; i < target; i++){
res = cur + pre;
pre = cur;
cur = res;
}
return res;
}
}
[剑指 Offer 买卖股票的最好时机(一)]
import java.util.*;
public class Solution {
/**
*
* @param prices int整型一维数组
* @return int整型
*/
public int maxProfit (int[] prices) {
// write code here
if (prices.length == 0) {
return 0;
}
//int buy = Integer.MAX_VALUE;
int buy = prices[0];
int max = 0;
for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
//如果prices[i]比要买的小，就更新buy，取小的值
if (prices[i] < buy) {
buy = prices[i];
}
//prices[i]减去卖的，比原来的收入要大，就卖出去，更新max。
if (prices[i] - buy > max) {
max = prices[i] - buy;
}
}
return max;
}
}
