我们知道，二叉搜索树是会出现单向的。单向在查找时效率是非常低的，时间复杂度会退化成O(N)，而AVL树就是解决这个问题。

1. AVL 树

1.1 AVL树的概念

概念：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右
子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)。

性质：1. 它的左右子树都是AVL树。2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。

1.2 AVL树节点的定义

AVL树并没有规定必须要设计平衡因子，只是一个实现的选择，方便控制平衡。

1.3 插入后的平衡因子

首先，我们还是按照之前插入的方式：

这里主要是插入的父结点要更新。
那么一个新结点插入树中后，它的平衡因子怎么变化(是右子树-左子树为例)，我们来看：

我们在9的左边插入一个新结点，哪些平衡因子会发生变化呢？

我们可以看到，需要改变的是插入结点的祖先。其余结点不需要改变。
每个祖先的平衡因子如果改变成1或者-1，说明原来是0，子树的高度发生了变化，需要继续往上更新。

此时，父亲的平衡结点为0。说明parent为根的树高度不变，不需要在往上更新了。

这里parent的平衡因子变成了2，违反了AVL树的规则，就不需要再往上更新了，我们要旋转子树。

基本规则如下：
1.子树高度变了，就继续往上更新。
2.子树高度不变，就完成更新。
3.子树违反平衡规则，就旋转子树。

代码实现：

1.4 AVL树的旋转

根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.4.1 右右：左单旋

1. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

左单旋是将60的左边放到30的右边，然后将30放到60的左边。

代码实现思路：
我们先将我们要修改的位置给标记上：

我们用parent，SubR，SubRL来标记我们要修改的结点。我们可以根据上图来分析，parent改到SubR的左边，SubRL改到parent的右边。

还有我们要把三叉链中的父指针更新：

这里我们还要注意：SubRL可能为空，所以我们需要加一个判断。

到这里了，还是没有结束。因为parent可能是根，也可能不是根。

这是parent不为根且SubRL为空的情况，旋转之后为：

我们需要将7和9(SubR)连起来。

左单旋的平衡因子：

从上图我们可以看出，只有parent和SubR的平衡因子发生了变化。SubRL的高度并没有发生改变。

从上图也可以看出，当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时。就会发生左单旋。

1.4.2 左左：右单旋

2. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

这里把30的右边转到60的左边，然后把60转到30的右边。

代码实现思路：
还是要将修改的位置给标记上：

我们将SubLR放到parent的左边，把parent放到SubL的右边。其余和上面的左单旋类似。

1.4.3 左右：先左单旋再右单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

什么是较高左子树的右侧？


当然在b插入或者c插入都会引起这种情况。

那么我们该怎么旋转呢？


将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30为根进行左单旋，然后再对90为根进行右单旋。

但是还有一种平衡因子变化，没有考虑到。
因为h为0的时候，平衡因子不一样了。
虽然有三种平衡因子的情况，但是旋转的方法都是一样的。

那么我们该怎么区分这三种情况呢？
答案是：观察60这个结点的平衡因子。

代码实现：

我们还是先给这三个位置标记上。

但是此时我们左旋转和右旋转后，树的平衡因子被打乱了。我们需要重新更新平衡因子。根据上图的三种情况来更新，会比较容易。

1.4.4 右左：先右单旋再左单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋。

那么这个情况和上一种类似，我们直接来看图：

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90为根进行右单旋，然后再对30为根进行左单旋。

代码实现：

1.5 AVL树的验证

1.6 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。