6.2 梯度爆炸实验

造成简单循环网络较难建模长程依赖问题的原因有两个：梯度爆炸和梯度消失。一般来讲，循环网络的梯度爆炸问题比较容易解决，一般通过权重衰减或梯度截断可以较好地来避免；对于梯度消失问题，更加有效的方式是改变模型，比如通过长短期记忆网络LSTM来进行缓解。

本节将首先进行复现简单循环网络中的梯度爆炸问题，然后尝试使用梯度截断的方式进行解决。这里采用长度为20的数据集进行实验，训练过程中将进行输出$W$,$U$,$b$的梯度向量的范数，以此来衡量梯度的变化情况。

6.2.1 梯度打印函数

使用custom_print_log实现了在训练过程中打印梯度的功能，custom_print_log需要接收runner的实例，并通过model.named_parameters()获取该模型中的参数名和参数值. 这里我们分别定义W_list, U_list和b_list，用于分别存储训练过程中参数$W,U和b$的梯度范数。

import torch
import os
import random
import torch
import numpy as np
from torch.utils.data import DataLoader
W_list = []
U_list = []
b_list = []
# 计算梯度范数
def custom_print_log(runner):
    model = runner.model
    W_grad_l2, U_grad_l2, b_grad_l2 = 0, 0, 0
    for name, param in model.named_parameters():
        if name == "rnn_model.W":
            W_grad_l2 = torch.norm(param.grad, p=2).numpy()
        if name == "rnn_model.U":
            U_grad_l2 = torch.norm(param.grad, p=2).numpy()
        if name == "rnn_model.b":
            b_grad_l2 = torch.norm(param.grad, p=2).numpy()
    print(f"[Training] W_grad_l2: {W_grad_l2:.5f}, U_grad_l2: {U_grad_l2:.5f}, b_grad_l2: {b_grad_l2:.5f} ")
    W_list.append(W_grad_l2)
    U_list.append(U_grad_l2)
    b_list.append(b_grad_l2)

【思考】什么是范数，什么是L2范数，这里为什么要打印梯度范数？

范数：

范数是一种强化了的距离概念。我们知道距离的定义是：只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。而范数在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

L2范数：

我们用的最多的度量距离“欧氏距离”就是一种L2范数，它的定义如下：

L2范数通常会被用来做优化目标函数的正则化项，防止模型为了迎合训练集而过于复杂造成过拟合的情况，从而提高模型的泛化能力。

L-P范数：

为什么要打印梯度范数：
打印梯度范数值可以帮助我们更直观地了解模型训练情况的好坏，梯度过大或过小都有可能导致模型的训练效果变差，因此打印梯度范数有利于我们更快地对模型作出修改。

6.2.2 复现梯度爆炸现象

为了更好地复现梯度爆炸问题，使用SGD优化器将批大小和学习率调大，学习率为0.2，同时在计算交叉熵损失时，将reduction设置为sum，表示将损失进行累加。 代码实现如下：

import os
import random
import torch
import numpy as np
 
np.random.seed(0)
random.seed(0)
torch.manual_seed(0)
 
# 训练轮次
num_epochs = 50
# 学习率
lr = 0.2
# 输入数字的类别数
num_digits = 10
# 将数字映射为向量的维度
input_size = 32
# 隐状态向量的维度
hidden_size = 32
# 预测数字的类别数
num_classes = 19
# 批大小
batch_size = 64
# 模型保存目录
save_dir = "./checkpoints"
 
 
# 可以设置不同的length进行不同长度数据的预测实验
length = 20
print(f"\n====> Training SRN with data of length {length}.")
 
# 加载长度为length的数据
data_path = f"D:/datasets/{length}"
train_examples, dev_examples, test_examples = load_data(data_path)
train_set, dev_set, test_set = DigitSumDataset(train_examples), DigitSumDataset(dev_examples),DigitSumDataset(test_examples)
train_loader = torch.utils.data.DataLoader(train_set, batch_size=batch_size)
dev_loader = torch.utils.data.DataLoader(dev_set, batch_size=batch_size)
test_loader = torch.utils.data.DataLoader(test_set, batch_size=batch_size)
# 实例化模型
base_model = SRN(input_size, hidden_size)
model = Model_RNN4SeqClass(base_model, num_digits, input_size, hidden_size, num_classes)
# 指定优化器
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(),lr)
# 定义评价指标
metric = Accuracy()
# 定义损失函数
loss_fn = nn.CrossEntropyLoss(reduction="sum")
 
# 基于以上组件，实例化Runner
runner = RunnerV3(model, optimizer, loss_fn, metric)
 
# 进行模型训练
model_save_path = os.path.join(save_dir, f"srn_explosion_model_{length}.pdparams")
runner.train(train_loader, dev_loader, num_epochs=num_epochs, eval_steps=100, log_steps=1,
             save_path=model_save_path, custom_print_log=custom_print_log)

运行结果：

[Training] W_grad_l2: 0.00026, U_grad_l2: 0.00152, b_grad_l2: 0.00019
[Train] epoch: 48/50, step: 242/250, loss: 9972.68066
[Training] W_grad_l2: 0.00055, U_grad_l2: 0.00409, b_grad_l2: 0.00039 
[Train] epoch: 48/50, step: 243/250, loss: 6181.53027
[Training] W_grad_l2: 0.00013, U_grad_l2: 0.00191, b_grad_l2: 0.00009
[Train] epoch: 48/50, step: 244/250, loss: 5992.93750
[Training] W_grad_l2: 0.00036, U_grad_l2: 0.00169, b_grad_l2: 0.00030
[Train] epoch: 49/50, step: 245/250, loss: 11759.13379
[Training] W_grad_l2: 0.00016, U_grad_l2: 0.00345, b_grad_l2: 0.00012
[Train] epoch: 49/50, step: 246/250, loss: 8051.15332
[Training] W_grad_l2: 0.00053, U_grad_l2: 0.00297, b_grad_l2: 0.00040
[Train] epoch: 49/50, step: 247/250, loss: 6390.26660
[Training] W_grad_l2: 0.00049, U_grad_l2: 0.00249, b_grad_l2: 0.00036 
[Train] epoch: 49/50, step: 248/250, loss: 8804.83203
[Training] W_grad_l2: 0.00018, U_grad_l2: 0.00194, b_grad_l2: 0.00013
[Train] epoch: 49/50, step: 249/250, loss: 5890.47656
[Training] W_grad_l2: 0.00020, U_grad_l2: 0.00080, b_grad_l2: 0.00014
[Evaluate]  dev score: 0.06000, dev loss: 6819.73352
[Train] Training done!

接下来，可以获取训练过程中关于$\mathbf{W}$，$\mathbf{U}$和$\mathbf{b}$参数梯度的L2范数，并将其绘制为图片以便展示，相应代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
def plot_grad(W_list, U_list, b_list, save_path, keep_steps=40):
    # 开始绘制图片
    plt.figure()
    # 默认保留前40步的结果
    steps = list(range(keep_steps))
    plt.plot(steps, W_list[:keep_steps], "r-", color="#e4007f", label="W_grad_l2")
    plt.plot(steps, U_list[:keep_steps], "-.", color="#f19ec2", label="U_grad_l2")
    plt.plot(steps, b_list[:keep_steps], "--", color="#000000", label="b_grad_l2")
 
    plt.xlabel("step")
    plt.ylabel("L2 Norm")
    plt.legend(loc="upper right")
    plt.show()
    plt.savefig(save_path)
    print("image has been saved to: ", save_path)
 
save_path = f"./images/6.8.pdf"
plot_grad(W_list, U_list, b_list, save_path)

运行结果：

图6.8 展示了在训练过程中关于$\mathbf{W}$，$\mathbf{U}$和$\mathbf{b}$参数梯度的L2范数，可以看到经过学习率等方式的调整，梯度范数急剧变大，而后梯度范数几乎为0. 这是因为$\text{Tanh}$为$\text{Sigmoid}$型函数，其饱和区的导数接近于0，由于梯度的急剧变化，参数数值变的较大或较小，容易落入梯度饱和区，导致梯度为0，模型很难继续训练.

接下来，使用该模型在测试集上进行测试。

print(f"Evaluate SRN with data length {length}.")
model_path = os.path.join(save_dir, "srn_explosion_model_20.pdparams")
torch.load(model_path)
 
# 使用测试集评价模型，获取测试集上的预测准确率
score, _ = runner.evaluate(test_loader)
print(f"[SRN] length:{length}, Score: {score: .5f}")

运行结果：

Evaluate SRN with data length 20.
[SRN] length:20, Score:  0.06000

6.2.3 使用梯度截断解决梯度爆炸问题

梯度截断是一种可以有效解决梯度爆炸问题的启发式方法，当梯度的模大于一定阈值时，就将它截断成为一个较小的数。一般有两种截断方式：按值截断和按模截断．本实验使用按模截断的方式解决梯度爆炸问题。

按模截断是按照梯度向量$\mathbf{g}$的模进行截断，保证梯度向量的模值不大于阈值$b$，裁剪后的梯度为:

$$\mathbf{g}=\{\begin{array}{cc}\mathbf{g},& ||\mathbf{g}||\le b\\ \frac{b}{||\mathbf{g}||}\ast \mathbf{g},& ||\mathbf{g}||>b\end{array}.$$

当梯度向量$\mathbf{g}$的模不大于阈值$b$时，$\mathbf{g}$数值不变，否则对$\mathbf{g}$进行数值缩放。

在飞桨中，可以使用paddle.nn.ClipGradByNorm进行按模截断. 在代码实现时，将ClipGradByNorm传入优化器，优化器在反向迭代过程中，每次梯度更新时默认可以对所有梯度裁剪。
pytorch中：
nn.utils.clip_grad_norm_(parameters=model.parameters(), max_norm=20, norm_type=2)

在引入梯度截断之后，将重新观察模型的训练情况。这里我们重新实例化一下：模型和优化器，然后组装runner，进行训练。代码实现如下：

# 清空梯度列表
W_list.clear()
U_list.clear()
b_list.clear()
# 实例化模型
base_model = SRN(input_size, hidden_size)
model = Model_RNN4SeqClass(base_model, num_digits, input_size, hidden_size, num_classes)
 
# 定义clip，并实例化优化器
 
optimizer = torch.optim.SGD(lr=lr, params=model.parameters())
# 定义评价指标
metric = Accuracy()
# 定义损失函数
loss_fn = nn.CrossEntropyLoss(reduction="sum")
 
# 实例化Runner
runner = RunnerV3(model, optimizer, loss_fn, metric)
 
# 训练模型
model_save_path = os.path.join(save_dir, f"srn_fix_explosion_model_{length}.pdparams")
runner.train(train_loader, dev_loader, num_epochs=num_epochs, eval_steps=100, log_steps=1, save_path=model_save_path, custom_print_log=custom_print_log)
# 进行模型训练
model_save_path = os.path.join(save_dir, f"srn_explosion_model_{length}.pdparams")

在引入梯度截断后，获取训练过程中关于$\mathbf{W}$，$\mathbf{U}$和$\mathbf{b}$参数梯度的L2范数，并将其绘制为图片以便展示，相应代码如下：

save_path = f"./images/6.9.pdf"
plot_grad(W_list, U_list, b_list, save_path, keep_steps=100)

运行结果：

接下来，使用梯度截断策略的模型在测试集上进行测试。

print(f"Evaluate SRN with data length {length}.")
 
# 加载训练过程中效果最好的模型
model_path = os.path.join(save_dir, f"srn_fix_explosion_model_{length}.pdparams")
torch.load(model_path)
 
# 使用测试集评价模型，获取测试集上的预测准确率
score, _ = runner.evaluate(test_loader)
print(f"[SRN] length:{length}, Score: {score: .5f}")

运行结果：

Evaluate SRN with data length 20.
[SRN] length:20, Score:  0.05000

由于为复现梯度爆炸现象，改变了学习率，优化器等，因此准确率相对比较低。但由于采用梯度截断策略后，在后续训练过程中，模型参数能够被更新优化，因此准确率有一定的提升。

【思考题】梯度截断解决梯度爆炸问题的原理是什么？

梯度裁剪确保了梯度矢量的最大范数，即使在模型的损失函数不规则时，也有助于梯度下降保持合理的行为。下面的图片展示了损失函数的陡崖。不采用裁剪，参数将会沿着梯度下降方向剧烈变化，导致其离开了最小值范围；而使用裁剪后参数变化将被限制在一个合理范围内，避免了上面的情况。

pytorch中使用的梯度截断是该torch.nn.utils.clip_grad_norm_ 函数，其作用是将超过指定梯度的梯度进行缩放，而梯度爆炸，故名思义就是梯度太大了，梯度太大产生的原因是因为其初始化权重过大，再加上连乘累积，所以最后的梯度非常非常大，所以这里使用按模截断的梯度截断将模大于指定数大小的梯度进行截断，使梯度变小，同时也有按数截断的梯度截断方式。