1.算法描述

BCH编译码是一种纠错能力强，构造简单的信道编译码。BCH编译码的生成多项式可以由如下的式子表示：

①BCH码是一种纠错码、线性分组码、循环码。

②需要传输信息位数：k

③纠错能力：t

④总码长（信息位+监督位）：n

⑤n的长度满足n=2^m – 1时生成的为本原BCH码；n的长度为2^m – 1的因子时为非本原BCH码

（如n=15，n=31，n=63时为本原BCH码；n=21（可被63整除）等时为非本原BCH码）

⑥此外还有加长BCH码和缩短BCH码。

⑦具体的BCH码通常用BCH（n,k）码来表示。

加长BCH码和缩短BCH码：
因为本原BCH码和非本原BCH码要求了n的长度，但很多情况下我们想要的码长并不满足n=2^m – 1或其因子。这时候就需要加长BCH码和缩短BCH码。

（1）缩短BCH码

BCH(50,32)码是扩展域GF(2^6)上BCH(63,45)码的缩短码。BCH(50,32)码和BCH(63,45)码的区别与联系：

①两者纠错能力相同，生成多项式相同。

②缩短码的实现只需要在编译码时在高位上补0，从k = 32凑到k = 45即可。

（2）加长BCH码

在本原BCH码或非本原BCH码的生成多项式中乘因式(x+1)，可以得到加长BCH码(n+1,k)，加了一个校验位。

本课题，主要分析码率为0.8和0.5两种模式下的BCH编译码性能，将BCH码的参数设置为BCH(255，207)和BCH(255，131)，两种参数下的编码码率分别为0.8117和0.5137。

以BCH(255，207)为例进行分析，编码之后的码字包含信息字节和校验字节，其表达式如下所示：

BCH译码过程主要通过计算伴随式sj得到错误位置多项式，然后通过chein算法计算错误位置多项式的根，从而确定错误位置数。并最终由错误位置数得到错误值以及错误图样E(x)，最后通过R(x)- E(x)= C(x)进行纠错。

2.仿真效果预览

matlab2022a仿真结果如下：

从图3.2的仿真结果可知，采用BCH(255，131)的编译码方式，其码率接近0.5，因此具有较好的编译码性能，当SNR为6db的时候，误码率达到10的-4次方。而采用BCH(255，207)编译码方式，其码率较高，为0.8117。虽然具有较高的传输效率，但是其性能较差。在SNR为7db的时候，误码率性能为10的-3次方。

3.MATLAB部分代码预览

clc;
clear all;
close all;
warning off;
 
SNR  = [0:1:7];
TJL  = 5000;
N    = 255; 
K    = 207; 
 
%主体代码
for i = 1:length(SNR)
    i
    Bit_err(i)    = 0; %设置误码率参数
    Num_err       = 0; %蒙特卡洛模拟次数
    Numbers       = 0; %误码率累加器
    while Num_err <= TJL 
          %计算几个值
          message    = randint(1,K,[0,1]);
          msg        = gf(message);
          BCHcode_gf = bchenc(msg,N,K);
          %BCH编码
          BCHcode_double=-1*ones(1,N);
          for code_j=1:N
              if BCHcode_gf(1,code_j)==1
                 BCHcode_double(1,code_j)=1;
              end
          end
          %信道
          BCH_receive = awgn(BCHcode_double,SNR(i),'measured');
          hard_coded  = zeros(1,N);
          for hard_j=1:N
              if BCH_receive(hard_j)>0
                 hard_coded(hard_j)=1;
              end
          end
          %BCH解码 
          BCHdecode = gf(zeros(1,K));
          hard_BCH  = hard_coded;
          [BCHdecode_i,error_num]=bchdec(gf(hard_BCH),N, K);
          BCHdecode = BCHdecode_i;
          BCHdecode_double = zeros(1,K);
 
          for gf_to_double_j=1:K
              if BCHdecode(gf_to_double_j)==1
                 BCHdecode_double(gf_to_double_j)=1;
              end
          end
          Err = biterr(BCHdecode_double,message);
          Num_err                 = Num_err+Err;
          Num_err
          Numbers                 = Numbers+1;
    end  
    Bit_err(i) = Num_err/(length(message)*Numbers);  
end
 
%曲线仿真
figure;
semilogy(SNR,Bit_err,'b-o');
xlabel('SNR');
ylabel('BER');
grid on;
save data.mat SNR Bit_err
A_045_BCH