实现矩阵连乘积（动态规划）

news2025/7/20 17:18:59

实现矩阵连乘积

题目

问题分析

算法分析

时间复杂度

代码实现

执行结果

动态规划

基本思想

举例

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实现矩阵连乘积

题目

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中A(i)与A(i+1)是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

问题分析

算法分析

RecurMatrixChain：A1,A2,…,An可乘。

令A1：p0xp1

A2：p1xp2

A3：p2xp3

......

An：An-1xAn

注：以上数字均为下标

当n=2，A1A2：p0xp1xp2

当n=3，A1A2A3,此时根据矩阵乘法的结合律可分两种情况，去最优解即取要的数乘次数最少的：

A1（A2A3）：p1xp2xp3+p0xp1xp3（其中p1xp2xp3是A2A3的数乘次数，p0xp1xp3是p1和A2A3乘积结果后新的矩阵的数乘次数）
（A1A2）A3：p0xp1xp2+p0xp2xp3（其中p0xp1xp2是A1A2的数乘次数，p0xp1xp3是p3和A1A2乘积结果后新的矩阵的数乘次数）

令f(n)为求解矩阵连乘积需要的最少数乘次数

f(n)=min{f(k)+f(n-k)+p0xpkxpn}

f(k)+f(n-k)是拆分，p0xpkxpn是合并

i<=k<j,假设在第k位置上找到最优解，则问题变成了两个子问题(Ai...Ak)(Ak+1...Aj)

用m[i][j]表示矩阵连乘的最优值，则初始状态为m[i,j](i=j),最终状态为m[1,n](i=1,j=n)

：

在这里插入图片描述

用s[i][j]记录断开位置

时间复杂度

p(n)=O(n^3)

代码实现

//重叠子问题的递归最优解

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include <iostream>
using namespace std;
int RecurMatrixChain(int i, int j, int **s, int *p); //递归求最优解
void Traceback(int i, int j, int **s); //构造最优解

int main() {
	int L = 7;
	int p[L] = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};
	int **s = new int *[L];

	for (int i = 0; i < L; i++) {
		s[i] = new int[L];
	}

	cout << "矩阵的最少计算次数为：" << RecurMatrixChain(1, 6, s, p) << endl;
	cout << "矩阵最优计算次序为：" << endl;
	Traceback(1, 6, s);
	return 0;
}

int RecurMatrixChain(int i, int j, int **s, int *p) {
	if (i == j)
		return 0;

	int u = RecurMatrixChain(i, i, s, p) + RecurMatrixChain(i + 1, j, s, p) + p[i - 1] * p[i] * p[j];
	s[i][j] = i;

	for (int k = i + 1; k < j; k++) {
		int t = RecurMatrixChain(i, k, s, p) + RecurMatrixChain(k + 1, j, s, p) + p[i - 1] * p[k] * p[j];

		if (t < u) {
			u = t;
			s[i][j] = k;
		}
	}

	return u;
}



void Traceback(int i, int j, int **s) {
	if (i == j)
		return;

	Traceback(i, s[i][j], s);
	Traceback(s[i][j] + 1, j, s);
	printf("Multiply (A%d and A%d)，断开位置是:%d\n", i, j, s[i][j]);
}