二分算法是我觉得在基础算法篇章中最难的算法。二分算法的原理以及模板其实是很简单的主要的难点在于问题中的各种各样的细节问题。因此大多数情况下只是背会二分模板并不能解决题目还要去处理各种乱七八糟的边界问题。一、二分查找【算法原理】当我们的解具有二段性时就可以使用二分算法找出答案根据待查找区间的中点位置分析答案会出现在哪一侧接下来舍弃一半的待查找区间转而在有答案的区间内继续使用二分算法查找结果。34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣LeetCode给你一个按照非递减顺序排列的整数数组nums和一个目标值target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值target返回[-1, -1]。你必须设计并实现时间复杂度为O(log n)的算法解决此问题。示例 1输入nums [5,7,7,8,8,10], target 8输出[3,4]示例 2输入nums [5,7,7,8,8,10], target 6输出[-1,-1]示例 3输入nums [], target 0输出[-1,-1]提示0 nums.length 105-109 nums[i] 109nums是一个非递减数组-109 target 109【解法一】暴力解法-从前往后扫描数组慢就慢在没有利用数组有序的特性ON【解法二】二分算法契机发现解集中存在二段性1.查找起始位置细节问题1while循环里面的判断如何写while ( left right ) √while ( left right ) × 死循环一直命中第一个条件leftright0后一直死循环2求中点的方式( left right ) / 2 ; √( left right 1) / 2 ; ×3二分结束之后相遇点的情况2.查找终止位置1while循环里面的判断如何写while ( left right ) √while ( left right ) × 死循环2求中点的方式( left right ) / 2 ; × 死循环( left right 1) / 2 ; √【模板】//查找区间左端点 int l 1, r n; while (l r) { int mid (l r) / 2; if (check(mid)) r mid; else l mid 1; } //二分结束之后可能需要判断是否存在结果//查找区间右端点 int l 1;r n; while (l r) { int mid (l r 1) / 2; if (check(mid)) l mid; else r mid - 1; } //二分结束之后可能需要判断是否存在结果【注】为防止溢出求中点时mid l ( r - l ) / 2 ;【时间复杂度】每次二分都会砍掉一半的查找区域OlogNclass Solution { public: vectorint searchRange(vectorint nums, int target) { int nnums.size(); if(n0) return {-1,-1}; if(nums[0]target) return {-1,-1}; if(nums[n-1]target) return {-1,-1}; int l0; int rn-1; int m(lr)/2; //查找起始位置 while(lr) { m(lr)/2; if(nums[m]target) rm; else lm1; } //l或r所指的位置有可能是最终答案 if(nums[l]!target) return {-1,-1}; int retleftl; l0,rn-1; //查找终止位置 while(lr) { m(lr1)/2; if(nums[m]target) lm; else rm-1; } return {retleft,l}; } };【二分问题解决流程】1.先画图分析确定使用左端点模板还是右端点模板还是两者配合一起使用2二分出结果之后不要忘记判断结果是否存在二分问题细节众多一定要分析全面。【STL中的二分查找】algorithm1.lower_bound大于等于x的最小元素返回的是迭代器时间复杂度O(logN)。2.upper_bound大于x的最小元素返回的是迭代器。时间复杂度O(logN)。二者均采用二分实现。但是STL中的二分查找只能适用于“在有序的数组中查找”如果是二分答案就不能使用。因此还是需要记忆二分模板。二、二分答案P2440 木材加工 - 洛谷题目描述木材厂有 n 根原木现在想把这些木头切割成 k 段长度均为 l 的小段木头木头有可能有剩余。当然我们希望得到的小段木头越长越好请求出 l 的最大值。木头长度的单位是 cm原木的长度都是正整数我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。例如有两根原木长度分别为 11 和 21要求切割成等长的 6 段很明显能切割出来的小段木头长度最长为 5。输入格式第一行是两个正整数 n,k分别表示原木的数量需要得到的小段的数量。接下来 n 行每行一个正整数 Li​表示一根原木的长度。输出格式仅一行即 l 的最大值。如果连 1cm 长的小段都切不出来输出0。输入输出样例输入 #1复制3 7 232 124 456输出 #1复制114说明/提示数据规模与约定对于 100% 的数据有 1≤n≤1051≤k≤1081≤Li​≤108(i∈[1,n])。准确来说应该叫做「二分答案判断」。二分答案可以处理大部分「最大值最小」以及「最小值最大」的问题。如果「解空间」在从小到大的「变化」过程中「判断」答案的结果出现「二段性」此时我们就可以「二分」这个「解空间」通过「判断」找出最优解。刚接触的时候可能觉得这个「算法原理」很抽象。没关系练习过后你会发现这个「二分答案」的原理其实很容易理解重点是如何去「判断」答案的可行性。x表示切割出来的小段的长度c表示在x的基础下最多能切出来多少段k表示最终要切割的段数解法一暴力解法枚举所有的切割长度x求出在x的情况下能够切出来多少段解法二利用二分来优化x增大c减小。x减小c增大。二段性Calcx)计算切割长度为x的时候能切出来多少段时间复杂度OlogL*N