前情概要

笛卡尔坐标系是直角坐标系和斜角坐标系的统称。为什么会有这两种坐标系呢，教材中为什么最后只用直角坐标系呢？我们这样解释：

研究一维空间中的向量时，由于一维空间中的向量有无数条，如果我们选定一条作为基底向量 $\vec{b}$ [类似于丈量长度中的尺子一样]，那么其他的向量 $\vec{a}$ 都和这个基底向量共线，则其他向量可以表示 $\vec{a}$ $=$ $\lambda$ $\vec{b}$，此时的系数 $\lambda$ 是唯一确定的，当然若选定的基底向量不一样，那么在刻画同一个其他向量时得到的对应系数也就不一样了；

此时如果我们再将基底向量特殊化为单位向量 $\vec{e}$[类似于将刚才所用的尺子确定为标准的米尺一样]，则在刻画其他向量时得到的系数就和一维数轴上的点的坐标一致了；这样我们研究一维空间中的任意向量的运算时，就可以只关注其系数 $\lambda$，而不太关注基底向量 $\vec{e}$ 了。这样我们其实已经有了从形到数的基础，即一维向量的坐标。是不是有点感觉了，我们继续引申如下：

斜角坐标系

在研究二维空间中的向量时，由于二维空间中的向量也有无数条，为了研究的简单化，我们选定两条不共线的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 作为基底向量¹，由平面向量共面基本定理可知，这个平面内的任意一条向量 $\vec{c}$ 一定可以唯一的表示为 $\vec{c}$ $=$ $\lambda$ $\vec{b}+$ $\mu$ $\vec{b}$，此时的系数 $\lambda$ 和 $\mu$ 是唯一确定的，由于一开始并没有限定两条基底向量必须正交垂直，在此基础上形成的坐标系就是斜角坐标系，这两个有序实数也就可以称为向量 $\vec{c}$ 的坐标。

同样的，若选定的两条基底向量不一样，那么在刻画同一个其他向量时得到的对应坐标也不一样了，自然也不唯一 . 比如对向量 $\vec{c}$ 而言，若选定 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 作为基底，则其坐标假定为 $(1,2)$，但若选定 $\vec{e}$ 和 $\vec{f}$ 作为基底，则其坐标可能就成了 $(3,-1)$或其他了 .

直角坐标系

此时如果我们再将两条基底向量特殊化为单位向量且正交化，那么在此基础上形成的坐标系就是平面直角坐标系。在这样的坐标系中刻画任意向量时得到的坐标就和我们初中学习的点的坐标一致了，从此我们就再也没有了向量坐标的不唯一不确定的担忧和困惑了，而且好处多多，原来一提到平面向量，我们立马想到画一条向量的图形，现在就可以完全脱离图形，直接操作其坐标就可以了，具体来说如何体会其便利性，我们结合教材和下面的例题来理解。

到此，我们就容易理解，直角坐标系可以看成斜角坐标系的特例，而斜角坐标系可以看成直角坐标系的拓展。

典例剖析

【人教2019 A版$P_{37}$拓广探索第15题】如图，设 $Ox$，$Oy$ 是平面内相交成 $60^{\circ }$ 角的两条数轴， ${\vec{e}}_1$ ，${\vec{e}}_2$ 分别是与 $x$ 轴，$y$ 轴正方向同向的单位向量．若向量 $\overrightarrow{OP}$$=$$x{\vec{e}}_1$$+$$y{\vec{e}}_2$ ，则把有序数对 $(x,y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{OP}$ 在坐标系 $Oxy$ 中的坐标．设 $\overrightarrow{OP}$$=$$3{\vec{e}}_1$$+$$2{\vec{e}}_2$ ，

(1). 计算 $|\overrightarrow{OP}|$ 的大小；

解析：如图所示，$\overrightarrow{OA}$$=$$3\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{OB}$$=$$2\overrightarrow{e_2}$，$\angle AOB$$=$$60^{\circ }$ ，

所以 $\angle OAP$$=$$120^{\circ }$，$|\overrightarrow{OA}|$$=$$3$，$|\overrightarrow{OB}|$$=$$2$，

利用余弦定理易得 $|\overrightarrow{OP}|$$=$$\sqrt{19}$ ．

(2). 根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理．

由于对于任意向量 $\overrightarrow{OP}$ 都存在唯一的一对实数 $x$，$y$ ，使 $\overrightarrow{OP}$$=$$x\overrightarrow{e_1}$$+$$y\overrightarrow{e_2}$ ，所以本题中对向量坐标的规定是合理的．

相关练习

【2025高一数学训练】笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，在平面斜角坐标系 $xOy$ 中，两坐标轴的正半轴的夹角为 $60^{\circ }$ ， ${\vec{e}}_1$， ${\vec{e}}_2$ 分别是与 $x$ 轴，$y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{a}$$=$$x{\vec{e}}_1$$+$$y\overrightarrow{e_2}$ ，则称有序实数对 $(x,y)$ 为 $\vec{a}$ 在该斜角坐标系下的坐标．若向量 $\vec{m}$，$\vec{n}$ 在该斜角坐标系下的坐标分别为 $(3,2)$，$(2,k)$ ，当 $k$$=$( \qquad ) 时，$\vec{m}$$\cdot$$\vec{n}$$=$$11$ ．

解析：由于 $\vec{m}=3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，$\vec{n}=2{\vec{e}}_1+k\overrightarrow{e_2}$，

则 $\left(3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}\right)\cdot \left(2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}\right)$$=$$6{\overrightarrow{e_1}}^2$$+$$2k{\overrightarrow{e_2}}^2$$+$$(3k+4)$$\cdot$$\overrightarrow{e_1}$$\cdot$$\overrightarrow{e_2}$

即 $6$$+$$2k$$+$$(3k+4)$$\cdot$$\overrightarrow{e_1}$$\cdot$$\overrightarrow{e_2}$$=6+2k+(3k+4)\times 1\times 1\times \cos 60^{\circ }$$=$$11$，

解得，$k=\frac{6}{7}$ .

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1. 参照平面向量共面基本定理理解，只有都不是零向量的两条向量才有资格作为二维平面的基底向量。 ↩︎