整理玩具
题目描述
小明有一套玩具，一共包含 N×MN×M 个部件。这些部件摆放在一个包含 N×MN×M 个小格子的玩具盒中，每个小格子中恰好摆放一个部件。
每一个部件上标记有一个 0 ~ 9 的整数，有可能有多个部件标记相同的整数。
小明对玩具的摆放有特殊的要求：标记相同整数的部件必须摆在一起，组成一个矩形形状。
如以下摆放是满足要求的：
00022
00033
44444
12244
12244
12233
01234
56789
以下摆放不满足要求：
11122
11122
33311
111111
122221
122221
111111
11122
11113
33333
给出一种摆放方式，请你判断是否符合小明的要求。
输入描述
输入包含多组数据。
第一行包含一个整数 T (1≤T≤10)T (1≤T≤10)，代表数据组数。
以下包含 TT 组数据。
每组数据第一行包含两个整数 N,M (1≤N,M≤10)N,M (1≤N,M≤10)。
以下包含 NN 行 MM 列的矩阵，代表摆放方式。
输出描述
对于每组数据，输出 YES 或者 NO 代表是否符合小明的要求。
输入输出样例
示例
输入
3
3 5
00022
00033
44444
3 5
11122
11122
33311
2 5
01234
56789
输出
YES
NO
YES
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 256M
总通过次数: 256 | 总提交次数: 324 | 通过率: 79%
难度: 困难 标签: 2018, 暴力, 思维, 国赛
算法思路
题目要求判断给定的 N×M 矩阵中，相同数字的部件是否都聚集在一个完整的矩形区域内。核心思路是通过计算每个数字的边界矩形，并验证该矩形内是否完全被该数字填充。
关键步骤：
- 边界计算：对于每个数字（0~9），计算其出现位置的最小行、最大行、最小列、最大列，形成一个边界矩形。
- 面积验证：计算边界矩形的面积（行差×列差），并与该数字的出现次数比较：
- 若面积 = 出现次数 → 数字恰好填满矩形（合法）
- 若面积 ≠ 出现次数 → 矩形内有其他数字或数字分散（非法）
数学原理：
设数字d的边界矩形面积为S = (max_r - min_r + 1) × (max_c - min_c + 1)
若S = count[d]，则矩形内无空隙且无非d元素（因空隙会减少d的实际数量）
示例演示
┌───────────┐
│ 初始化队列 │
│ dist[0]=0 │
└─────┬─────┘
│
▼
┌───────────┐ 出队0 ┌───────────┐
│ 队列状态: │ ───────────▶ │ 扩展邻居: │
│ [0] │ │ +1→1, +k→3│
└───────────┘ └─────┬─────┘
│ │
▼ ▼
┌───────────┐ 入队1,3 ┌───────────┐
│ 队列状态: │ ◀──────────── │ 更新距离: │
│ [1, 3] │ │ dist[1]=1 │
└───────────┘ │ dist[3]=1 │
│ └───────────┘
│
▼
┌───────────┐ 出队1 ┌───────────┐
│ 扩展邻居: │ ───────────▶ │ +1→2, +k→4│
└─────┬─────┘ └─────┬─────┘
│ │
▼ ▼
┌───────────┐ 入队2,4 ┌───────────┐
│ 队列状态: │ ◀──────────── │ 更新距离: │
│ [3,2,4] │ │ dist[2]=2 │
└───────────┘ │ dist[4]=2 │
│ └───────────┘
▼
┌───────────┐ 遍历完成 ┌───────────┐
│ 最终dist: │ ───────────▶ │ 0:0,1:1 │
│ [0,1,2,1,2]│ │ 2:2,3:1,4:2│
└───────────┘ └───────────┘完整代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int T;
cin >> T;
while (T--) {
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<string> grid(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> grid[i];
}
// 初始化边界和计数器
vector<int> min_r(10, INT_MAX);
vector<int> max_r(10, INT_MIN);
vector<int> min_c(10, INT_MAX);
vector<int> max_c(10, INT_MIN);
vector<int> count(10, 0);
// 遍历矩阵更新边界
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
char c = grid[i][j];
int num = c - '0';
count[num]++;
if (i < min_r[num]) min_r[num] = i;
if (i > max_r[num]) max_r[num] = i;
if (j < min_c[num]) min_c[num] = j;
if (j > max_c[num]) max_c[num] = j;
}
}
bool valid = true;
for (int d = 0; d < 10; d++) {
if (count[d] == 0) continue; // 跳过未出现的数字
// 计算矩形面积
int rows = max_r[d] - min_r[d] + 1;
int cols = max_c[d] - min_c[d] + 1;
int area = rows * cols;
if (area != count[d]) {
valid = false;
break;
}
}
cout << (valid ? "YES" : "NO") << endl;
}
return 0;
}代码解析
-
输入处理：
- 读取数据组数
T，循环处理每组数据 - 读取矩阵尺寸
n,m和矩阵内容
- 读取数据组数
-
边界初始化：
min_r/max_r/min_c/max_c：记录每个数字的行列边界（初始化为极值）count：统计每个数字出现次数
-
矩阵遍历：
- 对每个位置
(i, j)，更新对应数字的边界和计数器 - 边界更新：通过比较当前行列值与存储的极值
- 对每个位置
-
合法性验证：
- 对每个出现过的数字，计算其边界矩形面积
- 比较面积与出现次数：不等则标记非法
-
结果输出：
- 所有数字验证通过 → 输出
YES - 任意数字验证失败 → 输出
NO
- 所有数字验证通过 → 输出
实例验证
| 测试用例 | 矩阵 | 验证过程 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 合法案例 | 00022<br>00033<br>44444 | 0: 面积=2×3=6, 次数=6<br>2: 面积=1×2=2, 次数=2<br>3: 面积=1×2=2, 次数=2<br>4: 面积=1×5=5, 次数=5 | YES |
| 非法案例 | 11122<br>11122<br>33311 | 1: 面积=3×5=15, 次数=8 → 15≠8 | NO |
| 单点矩阵 | 5 | 5: 面积=1×1=1, 次数=1 | YES |
测试点设计
-
基础功能：
- 所有数字形成完整矩形（YES）
- 数字分散在多区域（NO）
- 矩形内部有空隙（NO）
-
边界情况：
- 1×1矩阵（YES）
- 全相同数字（YES）
- 数字0的特殊处理
-
性能测试：
- 最大矩阵 10×10（运行时间≤1ms）
-
特殊场景：
- 数字出现在边界但内部有空隙（NO）
- 多个数字相邻但各自成矩形（YES）
注意事项
-
边界初始化：
- 使用
INT_MAX/INT_MIN确保首次比较正确 - 未出现数字直接跳过（
count[d]=0）
- 使用
-
行列计算：
- 矩形高度：
max_r - min_r + 1 - 矩形宽度：
max_c - min_c + 1
- 矩形高度：
-
字符转换：
- 网格字符转数字：
grid[i][j] - '0' - 确保输入为数字字符（0~9）
- 网格字符转数字：
优化建议
-
提前终止：
if (!valid) break; // 发现非法立即终止后续检查 -
合并遍历：
- 若在边界更新时同步计算面积和次数，可减少一轮循环（但代码可读性降低）
-
内存优化：
- 用数组替代
vector（因数据规模小）
- 用数组替代
