LeetCode 热题 100 | 74. 搜索二维矩阵

大家好，今天我们来解决一道经典的算法题——搜索二维矩阵。这道题在 LeetCode 上被标记为中等难度，要求我们在一个满足特定条件的二维矩阵中查找一个目标值。如果目标值在矩阵中，返回 true；否则，返回 false。下面我将详细讲解解题思路，并附上 Python 代码实现。

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问题描述

给定一个满足以下两个条件的 m x n 整数矩阵：

1. 每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列。
2. 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

你需要判断一个整数 target 是否在矩阵中。

示例 1：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：true

示例 2：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13
输出：false

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解题思路

核心思想

1. 二分查找：

   • 由于矩阵的每一行都是有序的，并且每行的第一个元素大于前一行的最后一个元素，整个矩阵可以看作是一个一维有序数组。
   • 因此，可以使用二分查找来高效地查找目标值。

2. 映射二维索引到一维索引：

   • 将二维矩阵的索引映射到一维数组的索引，方便进行二分查找。

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Python代码实现

def searchMatrix(matrix, target):
    """
    :type matrix: List[List[int]]
    :type target: int
    :rtype: bool
    """
    if not matrix or not matrix[0]:
        return False

    m, n = len(matrix), len(matrix[0])  # 获取矩阵的行数和列数
    left, right = 0, m * n - 1  # 初始化二分查找的左右边界

    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2  # 计算中间索引
        mid_value = matrix[mid // n][mid % n]  # 将一维索引映射到二维索引

        if mid_value == target:
            return True  # 找到目标值，返回 True
        elif mid_value < target:
            left = mid + 1  # 目标值在右侧，移动左边界
        else:
            right = mid - 1  # 目标值在左侧，移动右边界

    return False  # 未找到目标值，返回 False

# 测试示例
print(searchMatrix([[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], 3))  # 输出: True
print(searchMatrix([[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], 13))  # 输出: False

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代码解析

1. 初始化边界：

   • left 初始化为 0，right 初始化为矩阵的最后一个元素的索引 m * n - 1。

2. 二分查找：

   • 在 left <= right 的范围内，计算中间索引 mid。
   • 将一维索引 mid 映射到二维索引 matrix[mid // n][mid % n]。
   • 如果 mid_value 等于目标值，直接返回 True。
   • 如果 mid_value 小于目标值，说明目标值在右侧，将 left 移动到 mid + 1。
   • 如果 mid_value 大于目标值，说明目标值在左侧，将 right 移动到 mid - 1。

3. 返回结果：

   • 如果未找到目标值，循环结束后返回 False。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(log(m * n))，其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。二分查找的时间复杂度为 O(log(m * n))。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外空间。

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示例运行

示例 1

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：true

示例 2

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13
输出：false

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总结

通过将二维矩阵的索引映射到一维索引，我们可以使用二分查找高效地查找目标值。这种方法不仅简洁，而且效率非常高，适合处理类似的问题。希望这篇题解对大家有所帮助，如果有任何问题，欢迎在评论区留言讨论！

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