[蓝桥杯]取球博弈

news2025/6/7 20:33:17

取球博弈

题目描述

两个人玩取球的游戏。

一共有 NN 个球，每人轮流取球，每次可取集合 n1,n2,n3n1,n2,n3中的任何一个数目。

如果无法继续取球，则游戏结束。

此时，持有奇数个球的一方获胜。

如果两人都是奇数，则为平局。

假设双方都采用最聪明的取法，

第一个取球的人一定能赢吗？

试编程解决这个问题。

输入描述

输入格式：

第一行 3 个正整数 n1,n2,n3 (0<n1,n2,n3<100)n1,n2,n3 (0<n1,n2,n3<100)，空格分开，表示每次可取的数目。

第二行 5 个正整数 x1,x2,⋯,x5 (0<xi<1000)x1,x2,⋯,x5 (0<xi<1000)，空格分开，表示 5 局的初始球数。

输出描述

输出一行 5 个字符，空格分开。分别表示每局先取球的人能否获胜。

能获胜则输出 +，次之，如有办法逼平对手，输出 0，无论如何都会输，则输出 -。

输入输出样例

示例

输入

1 2 3
1 2 3 4 5

输出

+ 0 + 0 -

运行限制

最大运行时间：3s
最大运行内存: 256M

总通过次数: 1061 | 总提交次数: 1355 | 通过率: 78.3%

难度: 困难标签: 2016, 省赛, 动态规划, 博弈

算法思路：动态规划与状态压缩

本问题是一个博弈论问题，需要模拟双方轮流取球的过程，并根据最终球数的奇偶性判断胜负。核心思路是状态压缩+动态规划，将问题分解为四个维度的状态：剩余球数、先手奇偶性、后手奇偶性、当前玩家。通过自底向上的DP计算所有可能状态的最优策略结果。

算法步骤

状态定义：
- dp[s][a][b][turn]：剩余球数s，先手奇偶性a（0偶1奇），后手奇偶性b，当前玩家turn（0先手/1后手）
- 值：1（先手赢）/0（平）/-1（先手输）
状态转移：
- 先手操作（turn=0）：尝试所有合法取球数k
  - 新先手奇偶性：new_a = a ^ (k & 1)
  - 转移到：dp[s-k][new_a][b][1]
  - 优先选赢（1），次选平（0），最后输（-1）
- 后手操作（turn=1）：尝试所有合法取球数k
  - 新后手奇偶性：new_b = b ^ (k & 1)
  - 转移到：dp[s-k][a][new_b][0]
  - 优先选先手输（-1），次选平（0），最后赢（1）
边界处理：
- 当s=0：根据奇偶性直接返回结果
- 当s<min_take：无法取球，直接结算
结果输出：
- 对每局初始球数x，查询dp[x][0][0][0]
- 1→'+', 0→'0', -1→'-'

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    // 读取取球规则
    vector<int> takes(3);
    cin >> takes[0] >> takes[1] >> takes[2];
    int min_take = *min_element(takes.begin(), takes.end());

    // 初始化DP数组 [s][a][b][turn]
    int dp[1001][2][2][2];
    const int UNCALC = INT_MIN;

    // 初始化s=0的边界状态
    for (int a = 0; a < 2; a++) {
        for (int b = 0; b < 2; b++) {
            for (int turn = 0; turn < 2; turn++) {
                if (a == 1 && b == 0) dp[0][a][b][turn] = 1;
                else if (a == 0 && b == 1) dp[0][a][b][turn] = -1;
                else dp[0][a][b][turn] = 0;
            }
        }
    }

    // DP计算：s从1到1000
    for (int s = 1; s <= 1000; s++) {
        for (int a = 0; a < 2; a++) {
            for (int b = 0; b < 2; b++) {
                for (int turn = 0; turn < 2; turn++) {
                    // 默认无法取球时直接结算
                    if (s < min_take) {
                        if (a == 1 && b == 0) dp[s][a][b][turn] = 1;
                        else if (a == 0 && b == 1) dp[s][a][b][turn] = -1;
                        else dp[s][a][b][turn] = 0;
                        continue;
                    }

                    if (turn == 0) {  // 先手操作
                        int best = UNCALC;
                        for (int k : takes) {
                            if (k > s) continue;
                            int new_a = a ^ (k & 1);  // 更新奇偶性
                            int res = dp[s - k][new_a][b][1];  // 转后手
                            if (res == 1) {  // 找到必胜策略
                                best = 1;
                                break;
                            } else if (res == 0) {
                                best = 0;  // 标记平局可能
                            } else if (best == UNCALC) {
                                best = -1;  // 无更优选择
                            }
                        }
                        dp[s][a][b][turn] = (best == UNCALC) ? 
                            ((a == 1 && b == 0) ? 1 : (a == 0 && b == 1) ? -1 : 0) : best;
                    } else {  // 后手操作
                        int best = UNCALC;
                        for (int k : takes) {
                            if (k > s) continue;
                            int new_b = b ^ (k & 1);  // 更新奇偶性
                            int res = dp[s - k][a][new_b][0];  // 转先手
                            if (res == -1) {  // 找到必杀策略
                                best = -1;
                                break;
                            } else if (res == 0) {
                                best = 0;  // 标记平局可能
                            } else if (best == UNCALC) {
                                best = 1;  // 无更优选择
                            }
                        }
                        dp[s][a][b][turn] = (best == UNCALC) ? 
                            ((a == 1 && b == 0) ? 1 : (a == 0 && b == 1) ? -1 : 0) : best;
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 处理5局游戏
    vector<int> x(5);
    for (int i = 0; i < 5; i++) cin >> x[i];
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        int res = dp[x[i]][0][0][0];
        if (res == 1) cout << '+';
        else if (res == 0) cout << '0';
        else cout << '-';
        if (i < 4) cout << ' ';
    }
    return 0;
}

代码解析

状态压缩：
- 使用a/b的0/1表示奇偶性，将球数状态压缩为4个维度
- dp[s][a][b][turn]存储当前状态的最优结果
核心转移逻辑：
- 先手策略（L42-55）：优先选择使后手必输的操作（返回1），次选平局
- 后手策略（L56-69）：优先选择使先手必输的操作（返回-1），次选平局
- 奇偶更新：new_a = a ^ (k & 1)（异或等效模2加法）
边界处理：
- s=0时直接根据奇偶性判定（L24-28）
- s<min_take时无法操作，直接结算（L35-39）
结果查询：
- 初始状态：dp[x][0][0][0]（双方0球，先手操作）
- 结果映射：1→+/0→0/-1→-

实例验证

输入：`1 2 3` + `1 2 3 4 5`

输出：+ 0 + 0 -

状态分析：

球数1：先手取1→剩0球，先手奇数(1)后手偶数(0)→先手赢+
球数2：
- 取1：转状态(1,1,0,1)→后手取1→(0,1,1,0)→平局
- 取2：转状态(0,0,0,1)→平局
- 最优平局0
球数3：取3→(0,1,0,1)→先手赢+
球数4：
- 取1：转(3,1,0,1)→后手取3→(0,1,1,0)→平局
- 取2/3：后手可迫使平局
- 最优平局0
球数5：
- 所有走法后手可迫使先手输-

输入：`1 4 5` + `10 11 12 13 15`

输出：0 - 0 + +（符合样例）

注意事项

奇偶性更新：
- 使用异或运算a^(k&1)等效模2加法
- 例：奇(1)+奇(1)→偶(0)：1^1=0
不可操作状态：
- 当s<min_take时直接结算
- 需单独处理避免越界
DP初始化：
- s=0时turn维度无意义，但需完整初始化
- 使用UNCALC标记未计算状态
策略优先级：
- 先手：赢→平→输（找到赢立即break）
- 后手：输→平→赢（找到输立即break）

多方位测试点

测试类型	测试数据	预期结果	验证要点
最小球数	`1 2 3` + `1`	`+`	边界处理
不可操作	`2 3 4` + `1`	`0`	直接奇偶结算
全奇取胜	`1 3 5` + `3`	`+`	奇偶组合逻辑
强制平局	`2 2 2` + `4`	`0`	无最优解的平局处理
后手必杀	`1 4 5` + `11`	`-`	后手策略优先级
大球数性能	`1 2 3` + `1000`	`<1s`	DP效率验证
重复取法	`3 3 3` + `6`	`0`	操作去重逻辑

优化建议

循环优化：

// 预处理合法操作（去重排序）
sort(takes.begin(), takes.end());
takes.erase(unique(takes.begin(), takes.end()), takes.end());

维度压缩：
- 奇偶状态仅需2位，可用位运算压缩为单整数
```
int state = (a << 2) | (b << 1) | turn;
```

记忆化搜索：

// 替代迭代DP，减少无效计算
int dfs(int s, int a, int b, int turn) {
    if (dp[s][a][b][turn] != UNCALC) 
        return dp[s][a][b][turn];
    // ...递归计算
}

剪枝策略：
- 当找到必胜/必杀策略时立即跳出循环
- 倒序排序取法，优先尝试大数加速命中

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