[蓝桥杯]格子刷油漆

news2025/6/7 11:11:38

格子刷油漆

题目描述

X 国的一段古城墙的顶端可以看成 2×N2×N 个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）

比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。c e f d a b 是另一种合适的方案。

当已知 NN 时，求总的方案数。当 NN 较大时，结果会迅速增大，请把结果对 109+7109+7 取模。

输入描述

输入数据为一个正整数（不大于 1000）。

输出描述

输出数据为一个正整数。

输入输出样例

示例

输入

输出

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 256M

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难度: 中等标签: 2013, 国赛, 动态规划

格子刷油漆问题：动态规划解法

问题分析

在 2×N 的网格上刷油漆，规则如下：

从任意格子开始，每次移动到相邻格子（包括对角相邻）
不能跳过未刷的格子
最终方案数需对 109+7 取模

这是一个典型的动态规划问题，需要定义两个核心数组：

a[i]：从左上角出发，刷完 2×i 网格后停在任意位置的方案数
b[i]：从左上角出发，刷完 2×i 网格后回到同列下方格子的方案数

动态规划递推公式

初始化边界条件：
- b[1]=1（单列网格只有 1 种回路方案）
- a[1]=1（单列网格只有 1 种遍历方案）
- a[2]=6（2×2 网格有 6 种遍历方案）
状态转移方程：
- 回路方案：b[i]=2×b[i−1]mod109+7
  （每增加一列，回路方案翻倍）
- 遍历方案：a[i]=(2×a[i−1]+b[i]+4×a[i−2])mod109+7
  （含三种情况：向下刷、向右刷、折返刷）

总方案计算：

四个角出发：4×a[n]
中间列出发（第 2 至 n−1 列）：

（每个中间列有 2 个起点，左右双向遍历各需回路和自由路径组合）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007;
const int MAX_N = 1000;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    // 特殊处理 n=1
    if (n == 1) {
        cout << 2 << endl;  // 两个起点各1种方案
        return 0;
    }

    vector<long long> a(MAX_N + 1, 0);
    vector<long long> b(MAX_N + 1, 0);

    // 初始化基础状态
    b[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        b[i] = (2 * b[i - 1]) % MOD;  // 回路方案递推
    }

    a[1] = 1;
    a[2] = 6;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        // 三种情况：向下刷、向右刷、折返刷
        a[i] = (2 * a[i - 1] + b[i] + 4 * a[i - 2]) % MOD;
    }

    // 计算总方案：四个角 + 中间列
    long long total = 4 * a[n] % MOD;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        long long term1 = (8 * b[i - 1] % MOD) * a[n - i] % MOD;
        long long term2 = (8 * b[n - i] % MOD) * a[i - 1] % MOD;
        total = (total + term1 + term2) % MOD;
    }

    cout << total << endl;
    return 0;
}