GRU 参数梯度推导与梯度消失分析

1. GRU 前向计算回顾

GRU 单元的核心计算步骤（忽略偏置项）：

更新门:    z_t = σ(W_z · [h_{t-1}, x_t])
重置门:    r_t = σ(W_r · [h_{t-1}, x_t])
候选状态:  ̃h_t = tanh(W_h · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t])
新状态:    h_t = (1 - z_t) ⊙ h_{t-1} + z_t ⊙ ̃h_t

其中 σ 为 sigmoid 函数，⊙ 表示逐元素乘法。

2. 关键梯度推导（以 ∂L/∂W_h 为例）

设时间 T 的损失为 L。需计算 ∂L/∂W_h（影响候选状态 ̃h_t）。

反向传播从 h_t 开始：

∂L/∂h_t = δ_t  // 从更高层或损失函数接收的梯度

h_t 对 ̃h_t 的梯度：

∂h_t/∂̃h_t = diag(z_t)  // 对角矩阵，元素为 z_t

̃h_t 对 W_h 的梯度：

̃h_t = tanh(W_h · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t])
∂̃h_t/∂W_h = [∂̃h_t/∂(W_h · in)] · [∂(W_h · in)/∂W_h] 
           = diag(tanh'(net_h)) · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t]^T

其中 net_h = W_h · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t]。

合并得 ∂L/∂W_h：

∂L/∂W_h = (∂L/∂h_t) · (∂h_t/∂̃h_t) · (∂̃h_t/∂W_h)
         = δ_t^T · diag(z_t) · diag(tanh'(net_h)) · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t]^T
         = [δ_t ⊙ z_t ⊙ tanh'(net_h)] · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t]^T

3. 时间反向传播与梯度消失分析

损失 L 对历史状态 h_k (k < t) 的梯度是分析梯度消失的关键：

∂L/∂h_k = ∂L/∂h_t · (∂h_t/∂h_k)

计算 ∂h_t/∂h_k（核心路径）：

h_t = (1 - z_t) ⊙ h_{t-1} + z_t ⊙ ̃h_t
̃h_t = tanh(W_h · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t])

展开递归关系：

∂h_t/∂h_k = ∏_{i=k+1}^{t} ∂h_i/∂h_{i-1}

∂h_i/∂h_{i-1} 的具体形式：

∂h_i/∂h_{i-1} = diag(1 - z_i) +  // 直接传递项
                 diag(z_i ⊙ tanh'(net_{h_i})) · W_h^h · diag(r_i) + // 候选状态路径
                 (∂h_i/∂z_i) · (∂z_i/∂h_{i-1}) + // 更新门路径
                 (∂h_i/∂r_i) · (∂r_i/∂h_{i-1})   // 重置门路径

其中 W_h^h 是 W_h 中对应 h_{i-1} 的子矩阵。

4. GRU 如何避免梯度消失

GRU 通过以下机制有效缓解梯度消失：

✅ 1. 加性状态更新

h_t = (1 - z_t) ⊙ h_{t-1} + z_t ⊙ ̃h_t

• 梯度路径多样性：梯度可通过两条路径传播：
  • (1 - z_t) ⊙ h_{t-1} → 梯度乘以 (1 - z_t)
  • z_t ⊙ ̃h_t → 梯度乘以 z_t
• 无损传播通道：当 z_t ≈ 0 时，h_t ≈ h_{t-1}，梯度直接传递：

  ∂h_t/∂h_{t-1} ≈ I (单位矩阵)
  

  此时梯度可跨时间步无损传播，类似残差连接。

✅ 2. 门控机制调节

• 更新门 z_t 的作用：
  • 若 z_t ≈ 0：模型保留历史信息，梯度主要走 (1 - z_t) 路径。
  • 若 z_t ≈ 1：模型重置状态，梯度来自当前输入（避免旧信息干扰）。
• 重置门 r_t 的作用：
  • 控制历史状态 h_{t-1} 对候选状态 ̃h_t 的影响：

    ̃h_t = tanh(W_h · [r_t ⊙ h_{t-1}, x_t])
    

  • 当 r_t ≈ 0 时，h_{t-1} 不影响 ̃h_t，适合忽略无关历史。

✅ 3. 梯度幅度分析

∂h_i/∂h_{i-1} 的主项为 diag(1 - z_i)：

• 该矩阵特征值接近 1（因 z_i ∈ (0,1) → 1 - z_i ∈ (0,1)）。
• 乘积 ∏_{i} (1 - z_i) 不会指数级衰减到 0（除非所有 z_i ≈ 1，但罕见）。

📊 与传统RNN对比：
传统RNN：h_t = tanh(W·[h_{t-1}, x_t]) → ∂h_t/∂h_{t-1} = diag(tanh'(...)) · W
梯度包含 W 的连乘，若 |W| < 1 则指数衰减。

5. 效果总结

机制	效果
加性更新	提供低衰减梯度路径 (∂h_t/∂h_{t-1} ≈ I)，避免连乘权重矩阵
更新门 (z_t)	自适应选择梯度来源：历史状态 (梯度保持) 或新输入 (及时更新)
重置门 (r_t)	控制历史信息对当前候选状态的影响，防止无关历史干扰梯度计算
门控导数有界	sigmoid 导数最大值为 0.25，但加性路径的 (1 - z_t) 项主导，整体梯度更稳定

结论

GRU 通过门控加性状态更新，在参数梯度计算中引入了近似恒等映射的路径（当 z_t ≈ 0 时）。这使其梯度 ∂h_t/∂h_k 的衰减速度远低于传统RNN，显著缓解了梯度消失问题，尤其适用于学习长序列依赖。实验表明，GRU 在语言建模、机器翻译等任务中能有效捕捉超过 100 步的依赖关系。