复数三角不等式简介及 MATLAB 演示

news2025/6/3 10:16:03

复数三角不等式简介及 MATLAB 演示

1. 复数三角不等式简介

复数三角不等式（Complex Triangle Inequality）是复数的一种重要性质，它类似于普通的三角不等式，但适用于复数空间。具体来说，复数三角不等式可以描述复数之间的几何关系。

对于任意两个复数 $z_1$ 和 $z_2$ ，复数三角不等式的表达式为：

$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

这里， $∣ z ∣$ 表示复数 $z$ 的模，也即其在复平面上的距离原点的距离。几何意义上，这个不等式表明，两个复数和的模不超过它们各自模的和。

等式成立的条件： 当且仅当 $z_1$ 和 $z_2$ 在复平面上共线且方向相同时，等式才成立。

2. 复数三角不等式的几何解释

在复平面中，每个复数可以看作是一个点或者向量。复数 $z_1$ 和 $z_2$ 可以表示为从原点出发的两个向量，复数 $z_1 + z_2$ 则是这两个向量的和，也就是从原点出发，沿着两个向量的路径得到的新向量。

复数三角不等式的几何含义是：两个向量的和的长度不大于它们各自长度之和。若两个向量在同一方向上，则它们的和的长度等于它们长度之和；如果它们的方向不同，则它们的和的长度小于它们长度之和。

3. 使用 MATLAB 演示复数三角不等式

在 MATLAB 中，我们可以通过画图和计算复数的模来验证复数三角不等式。下面是一个简单的示例，演示了两个复数的和以及三角不等式的验证。

% 定义复数 z1 和 z2
z1 = 4 + i;  % 复数 z1 = 3 + 4i
z2 = 1 + 2i;  % 复数 z2 = 1 + 2i

% 计算复数的模
mod_z1 = abs(z1);
mod_z2 = abs(z2);
mod_z1_plus_z2 = abs(z1 + z2);

% 显示复数模的结果
disp(['|z1| = ', num2str(mod_z1)]);
disp(['|z2| = ', num2str(mod_z2)]);
disp(['|z1 + z2| = ', num2str(mod_z1_plus_z2)]);
disp(['|z1 + z2| <= |z1| + |z2|: ', num2str(mod_z1_plus_z2 <= (mod_z1 + mod_z2))]);

% 绘制复数 z1 和 z2 的向量图形
figure;
hold on;
quiver(0, 0, real(z1), imag(z1), 0, ...
    'r', 'LineWidth', 2); % 绘制 z1 的向量
quiver(0, 0, real(z2), imag(z2), 0, ...
    'b', 'LineWidth', 2,'MaxHeadSize',0.5); % 绘制 z2 的向量
quiver(0, 0, real(z1 + z2), imag(z1 + z2), 0,...
    'g', 'LineWidth', 2); % 绘制 z1 + z2 的向量
quiver(4, 1, real(z2), imag(z2), 0, ...
    '-.b', 'LineWidth', 2,'MaxHeadSize',0.5); % 绘制 z3 的向量,z2向量平移到在末端

% 设置图形属性
axis equal;
xlim([0 6]);
ylim([0 6]);
grid on;
title('复数向量示意图');
legend('z1', 'z2', 'z1 + z2');
hold off;

输出结果：最后输出的1,代表等式成立
在这里插入图片描述

4. 代码解释

复数定义：我们定义了两个复数 $z_1 = 4+ i$ 和 $z_2 = 1 + 2i$ 。
模计算：使用 MATLAB 的 abs() 函数计算复数的模。我们计算了单个复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的模，及其和 $z_1 + z_2$ 的模。
三角不等式验证：通过输出验证复数三角不等式是否成立，即是否满足 $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ 。
图形绘制：我们使用 quiver() 函数绘制了复数 $z_1$ 、 $z_2$ 和它们的和 $z_1 + z_2$ 的向量图。不同颜色的箭头表示不同的向量，绿色的箭头表示 $z_1 + z_2$ 的和。