C++并集查找

前言

C++图论
C++算法与数据结构
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基本概念

并查集（Union-Find）是一种用于处理动态连通性（直接或间接相连）的数据结构，主要支持两种操作：union 和 find。通过这两个基本操作，可以高效地管理一组元素之间的连通关系。
Find: 查找节点所在有向树的根。
Union: 将两个不同的有向图合并为一棵树。

暴力做法

并集查找处理无向图的数据结构：有向森林，每棵树都是内向树。连通子图都直接或间接指向根，根出度为0，其它节点出度为1。vPar记录各节点的父节点。
Find(u)函数寻找u所在有向树的根（最远祖先）：

while(-1 != vPar[u]){ u =vPar}
return u;

判断u和v是否连通：

return Find(u)==Find(v)

连通：

root1 = Find(u);
root2 = Find(v);
如果root1和root2相等，直接返回。否则会有自环。
vPar[root1] = root2;

初始和合并都是有向森林

可以用数学归纳法证明。
初始：所有连通子图都是只有一个节点的有向树。
合并前后：
root1是根，出度0。合并后不是根，出度为1。
root2合并前后都是根，出度为0，不变。
其它节点合并前后都不是根，出度不变。
合并前后：v节点所在子图都直接或间接指向root2。
合并后：u所在子树通过u间接指向root2。

时间复杂度

合并和查找都是O(n)

启发式合并（UNION BY RANK）

合并前，u、v所在子树的节点数分别为mu、mv。
$\begin{cases} vPar[root1]= root2 & u树所有节点层次+1，v子树层次不变。 & mu <= mv \\ vPar[root2]=root1 & v树所有节点层次+1，u子树层次不变& 其它 \end{cases}$
任意节点合并的次数不会超过 $l o g 2 n$ ，否则合并此树的节点数超过n。被合并一次层次数+1，故所有节点的层次不互已超过 $l o g 2 n$ 。

路径压缩（PATH COMPRESSION）

路径压缩的优点在于它的简单性和有效性。尽管单次 find 的时间复杂度可能较高，但由于摊还分析的结果表明，经过多次操作后，平均时间复杂度接近常数 ( O(\alpha(n)) )，其中 ( \alpha(n) ) 是反阿克曼函数，增长极其缓慢}
u及u所有的祖先都直接连通root2。
合并和查找都是O(log2n)

可撤销并集查找

以启发式合并为基础。每次连通：
vPar[root1]= root2。我们记录root1、修改之前的x=vPar[root1]。
vCnt[root2] += vCnt[root1]，我们记录root2，y=vCnt[root1]。
撤销时：
vPar[root1] = x vCnt[root2] -=y
用栈记录操作记录。已经连通也要有记录。

封装类代码

无向图的并集查找（路径压缩）

class CUnionFind
{
public:
	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
	{
		for (int i = 0; i < iSize; i++)
		{
			m_vNodeToRegion[i] = i;
		}
		m_iConnetRegionCount = iSize;
	}	
	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())
	{
		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
				Union(i, n);
			}
		}
	}
	int GetConnectRegionIndex(int iNode)
	{
		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
		if (iNode == iConnectNO)
		{
			return iNode;
		}
		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
		{
			return;
		}
		m_iConnetRegionCount--;
		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
		{
			m_vNodeToRegion[iConnectNO1] = iConnectNO2;
		}
		else
		{
			m_vNodeToRegion[iConnectNO2] = iConnectNO1;
		}
	}

	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
	{
		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
	}
	int GetConnetRegionCount()const
	{
		return m_iConnetRegionCount;
	}
	//vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
	//{
	//	const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
	//	vector<int> vRet(iNodeSize);
	//	for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
	//	{
	//		vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
	//	}
	//	return vRet;
	//}
	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
	{
		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	}
private:
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
	int m_iConnetRegionCount;
};

实时更新各连通区域节点的并集查找

//启发式合并，实时更新各连通区域的节点
class CUnionFindNodes : public CUnionFind {
public:
	CUnionFindNodes(int n) :CUnionFind(n) {
		m_nodes.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			m_nodes[i].emplace_back(i);
		}
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		int g0 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		int g1 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (g0 == g1) { return; }
		CUnionFind::Union(iNode1, iNode2);
		if (g1 == GetConnectRegionIndex(g0)) {
			swap(g0, g1);
		}
		if (m_nodes[g1].size() > m_nodes[g0].size()) {
			swap(m_nodes[g1], m_nodes[g0]);
		}
		m_nodes[g0].insert(m_nodes[g0].end(), m_nodes[g1].begin(), m_nodes[g1].end());
		m_nodes[g1].clear();
	}
	vector<vector<int>> m_nodes;
};

无向图的并集查找

如果一条会形成环或出度为2，忽略。

class CUnionFindDirect
{
public:
	CUnionFindDirect(int iSize)
	{
		m_vRoot.resize(iSize);
		iota(m_vRoot.begin(), m_vRoot.end(), 0);
	}
	void Connect(bool& bConflic, bool& bCyc, int iFrom, int iTo)
	{
		bConflic = bCyc = false;
		if (iFrom != m_vRoot[iFrom])
		{
			bConflic = true;
		}

		Fresh(iTo);
		if (m_vRoot[iTo] == iFrom)
		{
			bCyc = true;
		}
		if (bConflic || bCyc)
		{
			return;
		}

		m_vRoot[iFrom] = m_vRoot[iTo];
	}
	int GetMaxDest(int iFrom)
	{
		Fresh(iFrom);
		return m_vRoot[iFrom];
	}	
private:
	int Fresh(int iNode)
	{
		if (m_vRoot[iNode] == iNode)
		{
			return iNode;
		}
		return m_vRoot[iNode] = Fresh(m_vRoot[iNode]);
	}
	vector<int> m_vRoot;
};

可撤销的并集查找

class CUnDoUnionFind {
public:
	CUnDoUnionFind(int N) :m_par(N, -1), m_cnt(N, 1) {
	};
	int Find(int x) {
		while (-1 != m_par[x]) { x = m_par[x]; }
		return x;
	}
	void Union(int u, int v) {
		int root1 = Find(u);
		int root2 = Find(v);
		if (root1 == root2) {
			m_record.emplace(root1, m_par[root1], root2, 0);
			return;
		}
		if (m_cnt[root1] > m_cnt[root2]) {
			swap(u, v);
			swap(root1, root2);
		}
		m_record.emplace(root1, m_par[root1], root2, m_cnt[root1]);
		m_par[root1] = root2;
		m_cnt[root2] += m_cnt[root1];
	}
	bool Undo() {
		if (m_record.empty()) { return false; }
		const auto [root1, par, root2, cnt] = m_record.top(); m_record.pop();
		m_par[root1] = par;
		m_cnt[root2] -= cnt;
		return true;
	}
	vector<int> m_par, m_cnt;
	stack<tuple<int, int, int, int>> m_record;
};

样例

力扣

	难度分
【欧拉回路】【图论】【并集查找】765. 情侣牵手	无
【C++图论并集查找】2316. 统计无向图中无法互相到达点对数	1604
【C++图论并集查找】1319. 连通网络的操作次数	1633
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【C++图论并集查找】924. 尽量减少恶意软件的传播	1868
【图论】【并集查找】【C++算法】928. 尽量减少恶意软件的传播 II	1985
【C++ 并集查找】1722. 执行交换操作后的最小汉明距离	1892
【图论】【广度优先】【并集查找】2092 找出知晓秘密的所有专家	2003
【C++图论并集查找】947. 移除最多的同行或同列石头	2034
C++二分查找或并集查找：2948交换得到字典序最小的数组	2047
【并集查找】839. 相似字符串组	2053
【C++ 同余裴蜀定理中位数贪心并集查找】2607. 使子数组元素和相等	2071
【并集查找图论位运算】3108. 带权图里旅途的最小代价	2108
【C++图论并集查找】1579. 保证图可完全遍历	2131
【最大公约调和级数并集查找】2709. 最大公约数遍历	2171
【调和级数并集查找】1627. 带阈值的图连通性	2221
【并集查找最大公约数调和数】952. 按公因数计算最大组件大小	2272
【并集查找】749. 隔离病毒	2277
【并集查找离线查询】1697. 检查边长度限制的路径是否存在	2300
【广度优先搜索】【二分图】【并集查找】2493. 将节点分成尽可能多的组	2415
【最大公约数并集查找调和级数】1998. 数组的最大公因数排序	2429
【并集查找图论】2421. 好路径的数目	2444
【状态压缩并集查找图论】2157. 字符串分组	2499
【图轮】【最小生成树】【并集查找】1489. 找到最小生成树里的关键边和伪关键边	2571

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样例整理时间

2025-5-25

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