主成分分析（PCA）

PCA是一种降维技术，它把一堆相关的变量（比如身高、体重、年龄）转换成少数几个不相关的新变量（叫“主成分”），这些新变量能最大程度保留原始数据的信息。

核心理念

1. 降维：假设我们有10个指标，PCA可以帮我们压缩成2~3个关键指标，方便进一步可视化或分析。

2. 去相关性：新生成的主成分之间互不相关，避免重复信息。

3. 保留最大方差：第一个主成分（PC1）方向是数据变化最大的方向，第二个（PC2）是剩余变化最大的方向，依此类推。

其中，数据变化最大的方向意思是，PC1能解释原始数据中最大比例的差异（方差）。

一般来说，我们会通过PCA实现可视化高维数据（把4维数据压缩成2维图），去除噪声和冗余变量（删除重复的测量指标）和简化机器学习模型（减少特征数量，加快计算速度）。

下面我们照例生成一组数据来理解PCA：

set.seed(123)
height <- rnorm(100, mean = 170, sd = 10)                     # 身高
weight <- height * 0.6 + rnorm(100, mean = 0, sd = 5)         # 体重 = 0.6*身高 + 噪声
age <- rnorm(100, mean = 30, sd = 5)                          # 年龄
data <- data.frame(height, weight, age)                       


# 执行PCA（默认中心化和标准化）
pca_result <- prcomp(data, scale = TRUE)  

# 查看主成分
summary(pca_result)  # 显示各主成分的方差贡献率

plot(pca_result, type = "l", main = "PCA方差贡献率")

# 绘制前两个主成分的散点图
library(ggplot2)
pca_data <- as.data.frame(pca_result$x)
ggplot(pca_data, aes(PC1, PC2)) + 
  geom_point() + 
  labs(title = "PCA降维结果（PC1 vs PC2）")

输出：

Importance of components:
                          PC1    PC2     PC3
Standard deviation     1.3280 0.9867 0.51287
Proportion of Variance 0.5878 0.3245 0.08768
Cumulative Proportion  0.5878 0.9123 1.00000

首先，Standard deviation中的PC1的数值最大，代表其携带信息最多，从这个身高的例子来讲，就是PC1的数据（可能是体型大小）其实就反映了身高与体重之间的变化，要注意PCA所生成的变量，不再是原始数据集的变量，他只是蕴含了其中的信息；从Proportion of Variance可以看出PC1和PC2就共同解释了模型中90%左右的信息，这就代表可以尝试舍去PC3去建模了，也就把数据从三维降为了二维，从而能画出二维图。