chapter2：深度学习基础

区分问题：回归问题还是分类问题？

输出结果是不明确的连续值的时候就是回归问题，比如房价预测，销售额预测等。

输出结果是明确几个离散值的时候就是分类问题，比如字符识别，猫狗分类等。

softmax回归是预测明确几个离散值，则适用于分类问题。

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2.1.1线性回归问题

以房价预测为例子，假设价格只取决于房屋状况的两个因素，即面积（平方米）和房龄（年）。

模型：就是x和y的表达式

设房屋的面积为 x1，房龄为x2 ，售出价格为 y，则模型是：

 其中 w1和 w2是权重（weight）， b是偏差（bias），且均为标量。

定义模型后，就要考虑训练模型

训练集（training set）：收集一系列的真实数据，例如多栋房屋的真实售出价格和它们对应的面积和房龄

样本（sample）：一个房屋就是一个样本

标签（label）：一个房屋售出的真实价格

特征（feature）：用来预测标签的两个因素

预测值表达式：

 红线部分是需要训练得出的参数

损失函数（loss function）：衡量预测值与真实值误差的函数称为损失函数

书中给出的本例子的损失函数：

分析一波损失函数的特点：

1、通常选择平方函数，通常选取误差为非负数，且预测值与真实值相等时为0，

2、常数1/2使对平方项求导后的常数系数为1

如何衡量模型预测的质量？

所有样本误差的平均值来衡量模型预测的质量

即：

样本平均损失最小，就是我们期望的w1,w2,b的参数值

对于求解w1,w2,b分出两种情况。

解析解：模型和损失函数简单，解可以求出来，就像这次房屋预测的线性模型一样，可以求出一个精确的解。

数值解：复杂的模型没有解析解，只能通过不断去迭代参数降低损失函数的值（深度学习通常为数值解）

数值解不断迭代的求解的做法是可以用在求解解析解，不断逼近解析解从而求解。

ps:通常情况下数值解解决复杂问题更加有意义，很多问题都不是线性这么简单，这也就是激活函数存在的意义，激活函数在后续会介绍。

数值解如何迭代求解？

书中介绍“小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent）"

这里就是用数值解迭代方式求解解析解的房屋预测问题。

超参数：人为设定，并不是模型训练给出，比如这里的批量大小和学习率。

ps:损失函数设定应当是便于求导的，上面设置损失函数方便梯度下降迭代。

简单点，梯度下降就是用来求某个函数最小值时，自变量对应取值。

这篇文章细讲了梯度下降，可以了解它的原理，sir, this way：梯度下降https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU0NjgzMDIxMQ==&mid=2247626752&idx=4&sn=bfcf5f9c656316175c03d766c7bf3d63&chksm=fa8a4f6576277a914accf065dae89e80626eaa86b49964c677370d7915a52853ed2d33145990&scene=27

学习率：是梯度下降算法中的一个关键参数，它决定了每次更新参数的步长。选择合适的学习率非常重要，学习率过大或过小都会影响模型的收敛效果。过大无法收敛，过小训练时间太长。

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2.1.2 线性回归的表示方法

神经网络图

之前例子房屋预测神经网络图：

 特征向量维度（特征数）：输入个数也叫特征数或特征向量维度，这里为2。

层数：层数为1层，线性回归是单层神经网络

神经元：输出层中负责计算o 的单元又叫神经元

全连接层:输出层中的神经元和输入层中各个输入完全连接。

矢量计算：

数字图像是一个数字矩阵，不可避免需要大量运算，书中用两个1000维向量相加验证了矢量运算的优越性。

import torch
from time import time
a = torch.ones(1000)
b = torch.ones(1000)
# 标量运算，逐个相加
start = time()
c = torch.zeros(1000)
for i in range (1000):
     c[i] = a[i]+b[i]
end= time()
print (end - start)
#向量运算，矢量加法
start = time()
c=a+b
end = time()
print(end - start)

在本人的破电脑上用时如下：

 矢量计算  Win!

一张 500w黑白相机拍出来的图片，如果作为输入，那个维度就是现在的很多倍，时间差异和矢量计算优越性的就会明显体现出来。

在房价预测将标量运算重写为矢量运算，书中这么写：

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2.2线性回归从零实现 

为了更好理解，只利用 Tensor 和 autograd 来实现一个线性回归的训练

2.2.1生成数据集：

‌

实现代码（书中代码有些版本问题，已经处理bug）： 

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import torch
import numpy as np
from IPython import display
import matplotlib_inline
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = torch.randn(num_examples, num_inputs, dtype=torch.float32)
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()),dtype=torch.float32)
def use_svg_display():
    # 用矢量图显示
    matplotlib_inline.backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    use_svg_display()
    # 设置图的尺寸
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
# 加分号只显示图
plt.scatter(features[:, 1].numpy(), labels.numpy(), 1);
plt.show();

数据图像如下：

2.2.2读取数据集 

在训练模型的时候，我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数：它 每次返回 batch_size （批量大小）个随机样本的特征和标签。让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2)，分别对应批量大小和输 入个数；标签形状为批量大小。

实现如下（#分线后面的为这部分实现的）：

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import torch
import numpy as np
from IPython import display
import matplotlib_inline
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = torch.randn(num_examples, num_inputs, dtype=torch.float32)
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()),dtype=torch.float32)
def use_svg_display():
    # 用矢量图显示
    matplotlib_inline.backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    use_svg_display()
    # 设置图的尺寸
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
# 加分号只显示图
plt.scatter(features[:, 1].numpy(), labels.numpy(), 1);
#plt.show();
####################################################接下来是本部分
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
# 样本的读取顺序是随机的
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
# 最后一次可能不足一个batch
        j = torch.LongTensor(indices[i: min(i+batch_size,num_examples)])
# index_select函数根据索引返回对应元素
        yield features.index_select(0, j), labels.index_select(0, j)
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, y)
    break

读取效果如下：

 2.2.3初始化参数&定义模型&定义损失函数&定义优化算法

初始化参数：初始化w1,w2权重值为均值为0、标准差为0.01的正态随机数，偏差b则初始化成0。

w1,w2,b都是要不断去迭代的，求梯度（偏导数）来迭代参数，因此我们要让它们的 requires_grad=True 。

定义模型：是线性回归的矢量计算表达式的实现，使用 mm() 函数做矩阵乘法。

（ps:torch.mul()执行的是元素级相乘，也称为Hadamard乘积，保持输入矩阵的维度不变。torch.mm()则进行矩阵乘法，要求特定的维度匹配，二维矩阵乘积，返回一个新的矩阵。torch.matmul()更通用，可处理多维矩阵。）

定义损失函数：使用上一节描述的平方损失函数来定义线性回归的损失函数，其中真实值y和预测值为y_hat

定义优化算法：小批量随机梯度下降算法，通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里定义了sgd函数自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和，将它除以批量大小来得到平均值。

在训练中，我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中，我们根据当前读取的小批量数据样本（特征 X 和标签 y ），通过调用反向函数 backward 计算小批量随机梯度，并调用优化算法 sgd 迭代模型参 数。由于我们之前设批量大小 batch_size 为10，每个小批量的损失 l 的形状为(10, 1)。回忆一下自动 求梯度一节。由于变量 l 并不是一个标量，所以我们可以调用 .sum() 将其求和得到一个标量，再运行 l.backward() 得到该变量有关模型参数的梯度。注意在每次更新完参数后不要忘了将参数的梯度清零。（如果不清零，PyTorch默认会对梯度进行累加）

在一个迭代周期（epoch）中，我们将完整遍历一遍 data_iter 函数，并对训练数据集中所有样本 都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数 num_epochs 和学习率 lr 都是超参数，分别设3和0.03。在实践中，大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。虽然迭代周期数设得越大模型可能越有效，但是训练时间可能过长。

实现如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import torch
import numpy as np
from IPython import display
import matplotlib_inline
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = torch.randn(num_examples, num_inputs, dtype=torch.float32)
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()),dtype=torch.float32)
def use_svg_display():
    # 用矢量图显示
    matplotlib_inline.backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    use_svg_display()
    # 设置图的尺寸
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
# 加分号只显示图
plt.scatter(features[:, 1].numpy(), labels.numpy(), 1);
#####读取数据集#####
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
# 样本的读取顺序是随机的
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
# 最后一次可能不足一个batch
        j = torch.LongTensor(indices[i: min(i+batch_size,num_examples)])
# index_select函数根据索引返回对应元素
        yield features.index_select(0, j), labels.index_select(0, j)
batch_size = 10
#for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
#    print(X, y)
#    break
#####初始化模型参数#####
w = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, 1)),dtype=torch.float32)
b = torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
w.requires_grad_(requires_grad=True)
b.requires_grad_(requires_grad=True)
#####定义模型#####
def linreg(X, w, b):
    return torch.mm(X, w) + b
##### 定义损失函数#####
def squared_loss(y_hat, y):#
    return (y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2 / 2
#####定义优化算法#####
def sgd(params, lr, batch_size):
    for param in params:
        param.data -= lr * param.grad / batch_size
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
# 训练模型一共需要num_epochs个迭代周期
for epoch in range(num_epochs):
    # 在每一个迭代周期中，会使用训练集中所有样本一次（假设样本数能够被批量大小整除）。
    # X和y分别是小批量样本的特征和标签
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    # l是有关小批量X和y的损失
        l = loss(net(X, w, b), y).sum()
    # 小批量损失对模型参数求梯度
        l.backward()
    # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数
        sgd([w, b], lr, batch_size)
    # 梯度清零
        w.grad.data.zero_()
        b.grad.data.zero_()
    train_l = loss(net(features, w, b), labels)
    print('epoch %d, loss %f' % (epoch+1, train_l.mean().item()))
print(true_b,true_w)
print(w,b)

运行效果如下：

这里推算出b逼近为4.2，w1和w2逼近为2，-3.4，和生成数据集时设置的结果吻合！