一、基本概念

1. 翻译程序 vs 编译程序

翻译程序的三种方式

1. 编译：将高级语言编写的源程序翻译成等价的机器语言或汇编语言。（生成文件，等价）
2. 解释：将高级语言编写的源程序翻译一句执行一句，不生成目标文件，直接执行源代码文件。（一句一句，不生成为文件）
3. 汇编：用汇编语言编写的源程序翻译成与之等价的机器语言。

编译程序的五个阶段

1. 词法分析：对源程序的字符串进行扫描和分解，识别出每个单词符号。

2. 语法分析：根据语言的语法规则，把单词符号分解成各类语法单位。

3. 语义分析与中间代码生成：对各种语法范畴进行静态语义检查，若正确则进行中间代码翻译。

4. 代码优化：遵循程序的等价变换规则。

5. 目标代码生成：将中间代码变换成特定机器上的低级语言代码。

问题：源代码中括号不匹配的错误一般在编译的哪个阶段（采用五阶段划分模型）被检查出来，简述这一阶段的名称和主要任务

• 名称：语法分析
• 主要任务：读取词法符号，进行语法分析，判断源程序是否符合程序语法，并生成抽象语法树或语法符号

2. 上下文无关文法

标准格式（$V_T,V_N,S,\xi$）

• $V_T$：非空有限集，每个元素都是终结符
• $V_N$：非空有限集，每个元素都是非终结符
• $S$：非终极符号，即 开始符号
• $\xi$：产生式集合（有限），每个产生式的形式是 $p\to \alpha$，其中 $P\in V_N$，$\alpha \in (V_T\cup V_N{)}^{\ast }$

如果 G 是一个文法，S 为开始符号，如果 $S\Rightarrow \alpha$，则称 $\alpha$ 为一个 句型。仅含 终结符的句型是一个句子。文法 G 所产生的句子的全体是一个语言，记为 L(G)

3. 语法分析树

编译原理笔记9：语法分析树、语法树、二义性的消除

语法分析树是语言推导过程的图形化表示方法。这种表示方法反映了语言的实质以及语言的推导过程。

定义：对于 CFG G 的句型，分析树被定义为具有下述性质的一棵树：

1. 根由开始符号所标记；

2. 每个叶子由一个终结符、非终结符或 ε 标记；

3. 每个内部节点都是非终结符；

4. 若 A 是某节点的内部标记，且 $X_1、X_2\dots X_n$ 是该节点从左到右的所有孩子的标记。则：$A\to X_1{X}_2\dots X_n$ 是一个产生式。若 A→ε，则标记为 A 的节点可以仅有一个标记为 ε 的孩子。

以 E => -E => -(E) => -(E+E) => -(id+E) => -(id+id) 为例

分析树与语言和文法的关系

• 每一直接推导（每个产生式），对应一仅有父子关系的子树，即产生式左部非终结符“长出”右部的孩子；
• 分析树的叶子，从左到右构成 CFG G 的一个句型（T、N两掺的串）。若叶子仅由终结符标记（+ 、- 、* 之类的运算符号也算是终结符），则构成一个句子

短语：子树末端节点字符串相对于子树根，即 叶子

简单短语（直接短语）：相当于简单子树

句柄：最左简单子树的末端节点组成字符串

• 注意：句柄这个概念有且仅会出现在 最右推导中

二义性：一个文法中存在某个句子，有两个不同的最左（最右）推导，则称这个文法是二义的

4. 语言分类🧠

类型	名称	限制条件
0型	短语结构文法	没有约束（只要左边至少有一个非终结符）
1型	上下文有关文法	所有产生式形如 α → β，其中
2型	上下文无关文法	所有产生式形如 A → β，其中 A 是单个非终结符
3型	正规文法	所有产生式为 A → a 或 A → aB（右线性），或 A → Ba（左线性）

0型文法(短语文法,上下文无关文法)，每个产生式的左边 $\alpha \in (V^N\cup V^T{)}^{\ast }$且至少含有一个非终结符号

1. 定义：若文法 $G[Z]=(V^N，V^T，P，Z)$中的每个产生式规则的形式为：$\alpha \to \beta$，其中$\alpha \in (V^N\cup V^T{)}^{\ast }$且至少含有一个非终结符号，而$\beta \in (V^N\cup V^T{)}^{\ast }$，则G[Z]为0型文法
2. 特点：0型文法的能力相当于图灵机，识别能力最强

1型文法(上下文敏感文法)

• 定义：若文法 $G[Z]=(V^N，V^T，P，Z)$中的每个产生式规则的形式为：$\alpha A\beta \to \alpha v\beta$，其中 $\alpha ,\beta \in (V^N\cup V^T)$，$A\in V^N$ ，$v\in (V^N\cup V^T{)}^{+}$，则G[Z]为1型文法

• 例如

  S → aAB
  AB → BA
  BA → a
  

  其中 AB → BA 这类规则长度不变，但左部是多个符号，所以是 上下文有关文法 （1型）

2型文法(上下文无关文法)

1. 定义：若文法 $G[Z]=(V^N，V^T，P，Z)$中的每个产生式规则的形式为：$A\to v$，其中 $A\in V^N$，$v\in (V^N\cup V^T{)}^{\ast }$，则G[Z]为2型文法

2. 特点：语法结构上下文无关，一般用于识别程序设计语言的语法结构

3. 例如

   S → aSb | ε
   

   这是一个 上下文无关文法 （2型），因为它每个产生式的左部都是一个单独的非终结符

3型语言(正规文法)

1. 种类：右线性文法、左线性文法
   正则文法 左（右）线性文法

2. 右线性文法：若文法 $G[Z]=(V^N，V^T，P，Z)$ 中的每个产生式规则的形式为：$A\to \alpha B$ 或 $A\to \alpha$，其中 $A,B\in V^N，\alpha \in (V^N\cup V^T)$，则 G[Z] 为右线性文法。（非终结部分永远在右部）

3. 左线性文法：若文法 $G[Z]=(V^N，V^T，P，Z)$ 中的每个产生式规则的形式为：$A\to B\alpha$或$A\to \alpha$，其中$A,B\in V^N，\alpha \in (V^N\cup V^T)$，则G[Z]为左线性文法。（非终结部分永远在左部）

4. 特点：作为定义程序设计语言规则的文法

5. 正规语言：3型文法定义的语言

6. 例如

   A → a
   A → aB
   B → b
   

   这类产生式符合右线性正规文法，属于 3型文法

📌 总结步骤：

1. 检查是否每个产生式左边是一个非终结符 → 是：2型或以下
2. 再检查右边是否只能是“一个终结符”或“一个终结符+一个非终结符”，并且方向一致（左线性或右线性）→ 是：3型
3. 如果某些产生式左边是多个符号，则可能是1型
4. 否则是0型

当我们判断一个文法属于哪一型时，我们要找它能归入的最严格类型 （也就是编号最大的那个类型）

🧠 乔姆斯基文法的层级关系（包含关系）

类型	名称	包含关系
0型	短语结构文法	最广泛，包含所有其他类型
1型	上下文有关文法	包含 2型和 3型
2型	上下文无关文法	包含 3型
3型	正规文法	最严格，是最小的集合

---

例题： 已知文法 G(S) 的产生式集为： S->bA，A-> aA|a，请判断这个文法属于乔姆斯基几型文法

第一步：检查是否符合 2型文法（上下文无关文法，CFG）

2型文法的定义：

• 所有产生式的左边必须是一个单独的非终结符 。

观察该文法：

• S → bA：左边是 S（一个非终结符）
• A → aA | a：左边是 A（一个非终结符）

✔️ 全部产生式的左边都是单个非终结符 ，所以这是一个上下文无关文法（CFG） ，即2型文法

第二步：是否属于更严格的 3型文法（正规文法，Regular Grammar）

3型文法要求：

• 所有产生式必须是以下形式之一：
  • 右线性：A → a 或 A → aB（一个非终结符变成一个终结符后跟一个非终结符）
  • 左线性：A → Ba 或 A → a

看看当前文法：

• S → bA ✔️ 符合右线性
• A → aA ✔️ 符合右线性
• A → a ✔️ 是终结符，也符合右线性

✔️ 所有产生式都满足右线性正规文法的要求

➡️ 所以这个文法不仅是 2型文法，而且还是 3型文法（正规文法），因此最终结论：该文法属于乔姆斯基的第 3 型文法（正规文法）

5. LL(1) 分析方法

First集（最左边可能出现的终结符）：设G[Z]=(VN，VT，P，Z)，α∈(VN∪VT)，符号串α的首符号集合的定义为：

• $First(\alpha )=a|\alpha \Rightarrow a\dots 且a\in V_T若\alpha \Rightarrow \ast \epsilon$，则规定 $\epsilon \in First(\alpha )$

Follow集：设G[Z]=(VN，VT，P，Z)，A∈VN，非终结符号A的后继符号集合的定义为：

• $Follow(A)=a|Z\Rightarrow \ast \dots A_a\dots 且a\in V_T，若Z\Rightarrow \ast \dots A$，则规定#∈First(A)。#为结束符

回溯的判断：对一个上下文无关文法 $G[Z]=(V_N，V_T，P，Z)$，对某个产生式规则$A\to {\alpha }_1|{\alpha }_2|\dots {\alpha }_n$，若存在$a\in V_T$，使得$a\in First({\alpha }_i)\cap First({\alpha }_j)(1\le i,j\le n且i\ne j)$或 $a\in First(\alpha i)\cap Follow(A)(1\le i\le n，A\Rightarrow \ast \epsilon )$ 或 $αi ⇒* ε $且 ${\alpha }_j\Rightarrow \ast \epsilon (1\le i,j\le n且i\ne j)$，则对应于文法G的自顶向下分析需要回溯。

LL(1)文法定义（也是 LL(1) 文法的判断条件）

1. 文法不含左递（如果有左递归，必须消除后再继续判断是否为 LL(1)）
2. 每个非终结符的各个候选式的 FIRST 集互不相交：对某个非终结符A，若其对应的产生式规则为 $A\to {\alpha }_1|{\alpha }_2|\dots {\alpha }_n$，则 $First({\alpha }_i)\cap First({\alpha }_j)=Ø(1\le i,j\le n且i\ne j)$
3. 如果有某个候选式能推出 ε（空串）：即 A → α 和 A → β，其中 β ⇒* ε（即 ε ∈ FIRST(β)）$则First(\alpha )\cap Follow(A)=Ø$

6. 左递归

含有A→Aa形式产生式的文法称为是直接左递归的 （immediate left recursive）

• 直接左递归：如果一个文法中有一个非终结符A使得对某个串a存在一个推导 $A{\Rightarrow }^{+}Aa$，那么这个文法就是直接左递归的
• 间接左递归：经过两步或两步以上推导产生的左递归称为是间接左递归的

左递归缺点：容易产生死循环

消除直接左递归规则

• 若某个文法中非终结符A的产生式规则是 直接左递归规则：A→Aα|β，其中 $\alpha ,\beta \in (V_N\cup V_T)\ast$。其中 $\beta$ 不以A打头，
• 则将A的产生式规则改写为：$A\to \beta A’，A’\to \alpha A’|\epsilon$。$A’$ 是新增加的非中介符号

消除间接左递归：

例 $S\to Aa|b，A\to Ac|Sd|\epsilon$

将S的定义代入A-产生式，得：$A\to Ac|Aad|bd|\epsilon$

消除A-产生式的直接左递归，得：
$$\begin{gathered} A\to >bdA’|A \\ A’\to >cA’|adA’|\epsilon \end{gathered}$$

二、习题练习

1. 文法化简

1. 若一个非终结符不能推导出终结字符串，则该非终结符是无用的，删除所有包括该非终结符的产生式规则
2. 若一个符号不能出现在文法的任何句型中，则该符号是无用的，删除所有包括该符号的产生式规则

题目：$S\to aABS，S\to bcAcd，A\to bAB，A\to cSA，A\to cCC，B\to bAB，B\to cSB$

解：

（1）从 S 开始，将含有非终结符不能推导出终结字符串消除，比如 C，因此删除 $S\to aABS，A\to bAB，A\to cCC，B\to bAB，B\to cSB$

（2）最后结果为：$S\to bcAcd，A\to bAB，A\to cSA，A\to cCC$

2. NFA、DFA 确定化、最小化

正归式转 NFA 规则如下：

比如当前正则表达式为 $(ab{)}^{\ast }(a^{\ast }|b^{\ast })(ba{)}^{\ast }$，求其等价的 DFA

NFA 确定化

要求确定化之前，需要判断是否有从该点出发的某个路径可以到达两个不同终点

题目如下：0 是终结 符号，求其 确定化，和 最小化的结果

graph LR;
	0 --> |a|0(((0)))
	0 ---> |a, b| 1((1));
	1 --> |a| 0;

• 注意：如果路径上有 ε，那么相当于无需任何条件可直接到达

由于 0 的 a 路径有两条，因此其并不是确定化，确定化状态转换矩阵如下：

I	$I_a$	$I_b$
{0}	{0, 1}	{1}
{0, 1}	{0, 1}	{1}
{1}	{0}	$\Phi$
$\Phi$	$\Phi$	$\Phi$

• 注意：一般计算的时候也可以不考虑 $\Phi$

先入 0 这个点到队列中，然后再把其通过 a, b 路径得到的值 依次入队列，然后按照 先进先出 的顺序取出，然后对 状态重新编号，如下：

I	$I_a$	$I_b$
0	1	2
1	1	2
2	0	3
3	3	3

因此其 DFA 状态图为

graph LR;
	0(((0))) ---> |a|1((1))
	0 ---> |b|2((2))
	1--->|a|1
	1--->|b|2
	2--->|b|3((3))
	2--->|a|0
	3--->|a, b|3

其最小化求解如下：

包含最初的终结节点 0 的都属于 终态组，其他的就属于非终态组，比如：上面 DFA 确定化中 终态组{0, 1}，非终态组 {2，3}

由于 {0, 1} => {1}（a 路径下），{0，1} => {2}（b 路径下）

• 保证得到的状态集是属于当前集合的子集，就不用再分

因此终态组无需再分

然后再来看非终态组

由于 {2, 3} => {0，3}（a 路径下），{2，3} => {3}（b 路径下），前者不是当前集合子集，所以需要划分为 {2} {3}，故最小化的结果为 {0, 1}，{2}，{3}

然后再重新编号 ，最小化图为

graph LR;
	0 ---> |a|0(((0)))
	0--->|b|1((1))
	1--->|a|0
	1--->|b|2((2))
	2--->|a, b|2

3. 根据右线性文法求左线性文法

给定右线性文法 G：$S\to 0S|1S|1A|0B，A\to 1C|1，B\to 0C|0，C\to 0C|1C|0|1$

画图得其 NFA 如下：

graph LR;
	0((S)) ---> |0,1|0(((0)))
	0 ---> |1|1((A)) 
	0 ---> |0|2((B))
	1 ---> |1|3((C)) 
	1 ---> |1|4((F))
	2 ---> |0|3
	2 ---> |0|4
	3 ---> |0,1|3
	3 ---> |0, 1|4

• 这里，S是起始状态，但是不是单纯的起点，它接收0或者1能够到达S状态。F是终止状态，是单纯的终点。

根据图，可以写出对应的左线性文法：

• F->A1|B0|C0|C1

• C->A1|B0|C0|C1

• B->S0（B是初始状态S接收0得到的，但是初始状态S并不是单纯的起点，它是状态S接收0/1得到的，所以需要写出来，如果写成B->0，是不对的，表达的不是一个意思，初始状态和终止状态写出来还是不写出来是严格确定的，如果写错，代表的是不同的自动机）

• A->S1

• S->S0|S1

4. 计算文法G的 FIRST 和 FOLLOW 集

文法 G 如下：
$$\begin{gathered} E\to E+T|T \\ T\to T\ast F|F \\ F\to (E)|i \end{gathered}$$

消除直接左递归结果如下：
$$\begin{gathered} E\to T{E}^{\prime } \\ E’\to +TE’|\epsilon \\ T\to F{T}^{\prime } \\ {T}^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|\epsilon \\ F\to (E)|i \end{gathered}$$
如何求First集与Follow集（超详细） – 具体步骤在这

思路：

求 FIRST 集合：

1. 单个终结符 a

• 如果 X = a（a 是终结符），那么：FIRST(a)={a}

2. 空串 ε

• 如果 X = ε，那么：FIRST(ε)={ε}

3. 单个非终结符 A

• 对于每个非终结符 A，我们要看它所有的产生式右边的内容。
• 对于每一个 A → α 的产生式：
  • 把 FIRST(α) 中的元素加入到 FIRST(A) 中

FOLLOW 集合的构造规则

1. 初始化：

   • 如果 S 是文法的开始符号，则 # ∈ FOLLOW(S)，其中 # 表示输入结束符。

2. 基本规则：

   • 对于每一个产生式：$A\to \alpha B\beta$

     其中：

     • A、B 是非终结符
     • α、β 是任意符号串（可以为空）

     则将 FIRST(β) 中除去 ε 的所有符号 加入到 FOLLOW(B) 中。

3. **ε 规则：**如果有产生式：$A\to \alpha B$或 $A\to \alpha B\beta$且 ε∈FIRST(β) 则将 FOLLOW(A) 中的所有符号加入到 FOLLOW(B) 中

4. **重复直到稳定：**因为 FOLLOW 集之间可能存在依赖关系，所以要反复应用上述规则，直到所有 FOLLOW 集不再变化为止

非终结符	FIRST	FOLLOW
$E$	（，i	），#
$E^{\prime }$	+，ε	），#
$T$	（，i	），+，#
$T^{\prime }$	*，ε	），+，#
$F$	（，i	*，），+，#