摘要

Deep Q-Network（DQN）将经典的Q-learning与深度神经网络相结合，使用卷积网络或多层感知机对动作价值函数进行逼近，并通过经验回放（Experience Replay）和目标网络（Target Network）两项关键技术稳定训练，从而在高维状态空间（如像素）下实现近乎人类水平的控制能力。DQN自2015年被DeepMind团队首次提出以来，已成为深度强化学习领域的基石算法之一，被广泛应用于游戏、机器人等场景。

一、DQN核心原理

1. Q-learning回顾

Q-learning是一种无模型、离线的值迭代算法，通过不断更新Q值

$$Q(s_t,a_t)\leftarrow Q(s_t,a_t)+\alpha [r_{t+1}+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s_{t+1},a^{\prime })-Q(s_t,a_t)]$$

来逼近最优动作价值函数 $Q^{\ast }(s,a)$。

2. 用深度网络逼近Q函数

DQN使用深度神经网络 $Q(s,a;\theta )$ 来近似离散系统中每对状态-动作的Q值，大幅提高了算法在高维、连续状态空间中的适用性。

3. 经验回放（Experience Replay）

训练过程中，将每次交互得到的 $(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})$ 存入回放池（replay buffer），每次更新时随机抽样小批量数据，打破数据间的时序相关性，提升数据利用效率并降低方差。

4. 目标网络（Target Network）

原始Q网络的参数 $\theta$ 会导致目标值频繁变化，DQN引入一个参数延迟更新的目标网络 $Q(s,a;{\theta }^{-})$，在固定步数 $C$ 后将主网络参数复制给目标网络，以稳定训练过程。

5. 损失函数

DQN的目标是最小化均方贝尔曼误差（Mean Squared Bellman Error）：

$$\mathcal{L}(\theta )={\mathbb{E}}_{(s,a,r,s^{\prime })\sim \mathcal{D}}\left[\right(r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime };{\theta }^{-})-Q(s,a;\theta ){)}^2].$$

梯度通过反向传播计算并更新网络参数。

6. ε-贪心策略（ε-greedy）

为了兼顾探索与利用，DQN在每一步按概率 ε 随机选取动作，否则选择价值最大的动作 $a=\arg {\max }_{a}Q(s,a;\theta )$，并随训练进程线性或指数衰减 ε。

---

二、算法流程与伪代码

输入：环境 Env，Q网络 Q(s,a;θ)，目标网络 Q(s,a;θ⁻)，回放池 D，折扣因子 γ，探索率 ε
1. 初始化 θ⁻ ← θ，D 为空
2. 对于每一集episode：
   a. 重置环境，获得初始状态 s
   b. 重复直到终止：
      i. 以 ε-贪心策略从 Q(s,a;θ) 选择 a
     ii. 执行动作 a，获得 (r, s')
    iii. 将 (s,a,r,s') 存入 D
     iv. 从 D 中随机抽样小批量 (s_j,a_j,r_j,s'_j)
      v. 计算目标 y_j = r_j + γ max_{a'} Q(s'_j,a';θ⁻)
     vi. 以梯度下降最小化 (y_j - Q(s_j,a_j;θ))²，更新 θ
    vii. 每 K 步将 θ 复制到 θ⁻
   c. 终止或更新 ε
3. 返回训练后的 Q 网络 θ

三、典型实现步骤

1. 环境与依赖

   • 安装 Gym 或 Gymnasium，用于构建测试环境（如 CartPole-v1、Atari）。
   • 选择深度学习框架（PyTorch、TensorFlow）并导入相应模块。

2. 定义Q网络

   • 对低维状态：使用全连接网络（MLP）；对高维图像：使用卷积神经网络（CNN）。
   • 输出维度等于动作数；前向计算返回所有动作的Q值。

3. 实现Replay Buffer

   • 环形队列或列表存储固定容量的过渡；实现 push(state, action, reward, next_state, done) 和 sample(batch_size) 方法。

4. 训练循环

   • 动作选择：ε-贪心策略；
   • 存储转移：将当前交互存入回放池；
   • 批量更新：当回放池样本数 ≥ 批量大小时，抽样并计算损失、反向传播更新主网络；
   • 目标网络更新：每隔固定步数同步主网络参数到目标网络；
   • ε衰减：逐步降低探索率至最小值。

5. 超参数设置

   • 回放池大小（如 $10^5$）、批量大小（如 32–128）、γ（如 0.99）、学习率（如 1e-4）、ε初始/最小值及衰减策略、目标网络更新频率 K（如 1000 步）。

6. 训练与评估

   • 多个随机种子、多轮训练，记录平均回报与方差；
   • 根据训练曲线判断收敛性，适时调整超参数。

四、Python示例（PyTorch）

import random, numpy as np
import torch, torch.nn as nn, torch.optim as optim
from collections import deque

class DQN(nn.Module):
    def __init__(self, state_dim, action_dim):
        super().__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(state_dim, 128), nn.ReLU(),
            nn.Linear(128, 128), nn.ReLU(),
            nn.Linear(128, action_dim)
        )
    def forward(self, x):
        return self.net(x)

# 初始化
env = gym.make('CartPole-v1')
state_dim = env.observation_space.shape[0]
action_dim = env.action_space.n
policy_net = DQN(state_dim, action_dim)
target_net = DQN(state_dim, action_dim)
target_net.load_state_dict(policy_net.state_dict())
optimizer = optim.Adam(policy_net.parameters(), lr=1e-4)
replay_buffer = deque(maxlen=100000)

# 训练循环
for episode in range(1000):
    state = env.reset()
    done = False
    while not done:
        if random.random() < epsilon:
            action = env.action_space.sample()
        else:
            with torch.no_grad():
                action = policy_net(torch.FloatTensor(state)).argmax().item()
        next_state, reward, done, _ = env.step(action)
        replay_buffer.append((state, action, reward, next_state, done))
        state = next_state

        if len(replay_buffer) >= batch_size:
            batch = random.sample(replay_buffer, batch_size)
            states, actions, rewards, next_states, dones = map(
                lambda x: torch.FloatTensor(x), zip(*batch))
            q_values = policy_net(states).gather(1, actions.long().unsqueeze(1))
            next_q = target_net(next_states).max(1)[0].detach()
            target = rewards + gamma * next_q * (1 - dones)
            loss = nn.MSELoss()(q_values.squeeze(), target)
            optimizer.zero_grad(); loss.backward(); optimizer.step()

        # 同步目标网络
        if total_steps % target_update == 0:
            target_net.load_state_dict(policy_net.state_dict())
        total_steps += 1

    # ε衰减
    epsilon = max(epsilon_min, epsilon * epsilon_decay)