二分查找算法的思路

news2025/5/15 18:20:19

二分查找思路总结

明确目标与单调性特点：
- 核心目标：寻找满足某种条件的答案（如最小/最大值）。
- 单调性要求：需要证明你的判断函数具有单调性——即如果某个答案 T 可行，那么大于 T 的答案通常也是可行的；反之，如果 T 不可行，那么小于 T 的答案也一定不可行。
- 笔记要点：问题必须具有“阈值”性质，才能通过不断试探、缩小范围来逼近最优解。
设计边界（取值区间）：
- 下界的设计：
  根据问题的最苛刻条件得出最低可能值。例如在任务分配问题中，每个任务必须独立完成，所以最小时间至少是所有任务里最大单个任务的时间。
- 上界的设计：
  提供一个肯定可行的最坏情况。例如所有任务只能由一个人完成时，所需时间为任务总时间。
- 笔记要点：边界的选择应基于问题的极限情况，确保区间内存在答案且边界足够紧凑。
构建可行性（判断）函数：
- 目的：给定一个候选答案 T，判断是否存在一种方案使问题条件（比如任务分配）满足。
- 思考方法：模拟或验证该方案是否满足所有限制条件。
- 笔记要点：可行性函数通常是问题求解的核心，它依据单调性确保二分过程中答案变化呈现明确趋势。
二分搜索框架：
- 基本流程：
  - 设定初始左右边界（low, high）；
  - 求候选值 mid = (low + high) / 2；
  - 如果 mid 对应的方案可行，那么尝试缩小上界（high = mid）；
  - 如果 mid 不可行，则需要增大下界（low = mid + 1）；
  - 重复直到 low 与 high 收敛，此时 low 就是最优答案。
- 笔记要点：整个过程利用了单调性特点，通过不断收缩答案区间，最终确定最小（或最大）的可行解。
  代码：

#include <iostream>
using namespace std;

// 二分查找函数
int binarySearch(int arr[], int size, int target) {
    int left = 0, right = size - 1;

    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2; // 避免溢出
        if (arr[mid] == target) 
            return mid;  // 找到目标，返回索引
        else if (arr[mid] < target)
            left = mid + 1; // 目标在右侧
        else
            right = mid - 1; // 目标在左侧
    }

    return -1; // 未找到
}

int main() {
    int arr[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}; // 已排序数组
    int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int target = 7;

    int index = binarySearch(arr, size, target);
    
    if (index != -1)
        cout << "目标 " << target << " 在索引 " << index << endl;
    else
        cout << "目标不存在" << endl;

    return 0;
}