问题描述

小明在二维坐标系中放置了 n 个点，他想在其中选出一个包含三个点的子集，这三个点能组成三角形。然而这样的方案太多了，他决定只选择那些可以组成等腰三角形的方案。请帮他计算出一共有多少种选法可以组成等腰三角形？

输入格式

输入共 n+1 行。

第一行为一个正整数 n。

后面 n 行，每行两个整数 xi​, yi​ 表示第 i 个点的坐标。

输出格式

输出共 1 行，一个整数。

样例输入

5
1 1
4 1
1 0
2 1
1 2

样例输出

4

样例说明

一共有 4 种选法: {3,4,5}、{1,3,4}、{5,2,3}、{1,4,5}。

评测用例规模与约定

对于 20% 的数据，保证 n≤200。

对于 100% 的数据，保证 n≤2000，0≤xi,yi≤。

因为每个点横纵坐标都是整数不会出现等边三角形这种情况

枚举每一个点作为顶点，所有与该顶点距离相等的点均位于以该顶点为圆心、以该距离为半径的圆周上

观察所有与该顶点距离相等的点是否有对称点，除去三点共线的情况，并且这一条线会被记录两次，所以在答案我们要去掉cnt/2

解释 ans += mp[d]; ：

与顶点距离相同的点有2个点时，能构成1个等腰三角形

与顶点距离相同的点有3个点时，能构成3个等腰三角形 （+2）

与顶点距离相同的点有4个点时，能构成6个等腰三角形（+3）

与顶点距离相同的点有5个点时，能构成10个等腰三角形（+4）

求一个点在圆上关于圆心的对称点：

#include<iostream>
#include<set>  // 包含 set
#include<map>  // 包含 map
using namespace std;

const int N = 2e3+10; 
int n;
int ans;
int x[N], y[N];

set<pair<int, int>>s;  //存储所有点的坐标
map<int, int>mp;

//计算i, j两点间距离的平方
//使用平方距离避免浮点数运算
int dis(int i, int j)
{
	return (x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		cin>>x[i]>>y[i];
		s.insert({x[i], y[i]});
	}
	
	//枚举每个点作为等腰三角形的顶点
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		int cnt=0;  //记录共线三点的情况出现的次数
		
		//对于每个顶点i，遍历所有其他点j
		for(int j=1; j<=n; ++j)
		{
			//确保不把顶点自己和自己比较
			if(i!=j)
			{
				int d=dis(i, j);
				
				ans += mp[d]; //之前已经有mp[d]个点到 i 的距离也是 d
				mp[d]++;  //更新该距离的点数
				
				//检查共线情况
				int x2=2*x[i]-x[j];  //计算对称点x坐标
	            int y2=2*y[i]-y[j];  //计算对称点y坐标	            
	            if(s.count({x2,y2}))cnt++;  //如果对称点存在，则三点共线
			}
		}
		ans-=cnt/2;  //每对对称点会被统计两次
    	mp.clear();  //清空mp，准备下一个顶点的统计
	}
	
	cout<<ans;
	
	return 0;
}