2025数维杯数学建模竞赛B题完整参考论文

目录

摘要 

一、问题重述 

二、问题分析 

三、模型假设 

四、定义与符号说明 

五、 模型建立与求解 

5.1问题1 

5.1.1问题1思路分析 

5.1.2问题1模型建立 

5.1.3问题1求解结果 

5.2问题2 

5.2.1问题2思路分析 

5.2.2问题2模型建立 

5.2.3问题2求解结果 

5.3问题3 

5.3.1问题3思路分析 

5.3.2问题3模型建立 

5.3.3问题3求解结果 

5.4问题4 

5.4.1问题4思路分析 

5.4.2问题4模型建立 

5.4.3问题4求解结果 

六、 模型推广 

附录1问题1代码 

附录2问题2代码 

附录3问题3代码 

附录4问题4代码 

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摘要

针对马拉松赛事的优化问题，本文结合气象条件、城市承载能力、参赛者需求和交通流量，提出了一种综合性的赛事规划与优化模型。首先，针对问题1，我们综合考虑气象适宜性、城市承载能力、人口规模及报名热度等因素，采用多目标优化方法科学筛选赛事窗口期、比赛时间、赛事规模与频次；针对问题2，我们通过西安市的基础数据，运用图论和最短路径算法，设计了符合赛道要求的起点-终点组合，并优化了赛道的树荫覆盖率、补给站设置与坡度；针对问题3，我们设计了一个多目标优化算法，结合树荫覆盖、交通影响、赛道坡度等因素生成若干候选赛道方案，以提升选手舒适度并减少对城市交通的干扰；针对问题4，我们结合历史成绩数据和参赛组别，设计了差异化的纪念品兑换方案，并提供了赛前模拟排名工具，帮助参赛者制定合理的奖励方案。

对于问题1，我们首先建立了气象、交通、报名热度等因素的综合评估模型，采用多目标优化方法筛选出最佳赛事窗口期。通过对历史数据的分析，我们利用数学模型预测赛事规模和频次，并得出最优的城市选择与赛事安排方案。利用MATLAB进行求解，我们获得了针对不同城市的最佳赛事时间和频次安排。

对于问题2，我们以西安市为例，首先收集了景点、住宿设施、餐饮设施等数据，构建了赛道优化模型。在模型中，我们结合了容量权重和路网密度，采用Dijkstra算法筛选出最优的起点-终点组合，并进一步优化赛道路径。最终，利用GIS软件绘制了最优赛道图，并验证了其符合国际马拉松标准的要求。

对于问题3，我们采用了多目标优化算法，平衡树荫覆盖、交通影响、坡度等因素，设计了多个候选赛道方案，并提出了基于舒适度评分和交通流量的科学性评估指标。通过模拟气象数据和赛道设计，我们优化了赛道走向，减少了高温时段暴露于阳光下的距离，从而提升了选手的整体舒适度。

对于问题4，我们设计了差异化的纪念品兑换方案，结合参赛组别和历史成绩，提出了多层次奖励机制，并构建了赛前模拟排名工具。通过结合参赛者的预期成绩，我们为不同成绩组别的参赛者提供了定制化的奖励方案，进一步激励参赛者提升成绩。

在优化过程中，针对不同城市和赛事特点，我们对模型进行了适当的修改与优化。根据赛道数据和历史成绩的变化，我们提出了新的奖励机制和赛事安排建议，这种优化模型具有广泛的适应性，并能为未来的赛事规划提供有效的支持。

关键词：多目标优化；赛道设计；纪念品兑换；交通优化；赛事窗口期

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一、问题重述

问题1 重述

问题1的目标是选择合适的数据集，并综合考虑多个核心因素来科学地筛选中国主要城市的马拉松赛事窗口期，以及合理确定比赛时间、赛事规模与频次。关键的考虑因素包括气象适宜性、城市承载能力、人口规模和报名热度等。气象适宜性主要指天气条件，如温度和降水量，它直接影响赛事的举办时机。城市承载能力反映了城市在举办大规模赛事时所能提供的基础设施和服务能力。人口规模和报名热度则通过历史数据来预测赛事的规模和参赛者的增长趋势。通过对这些因素的综合分析，能够为每个城市选择一个最适合的赛事窗口期，进而优化赛事的时间安排和规模，以确保赛事的顺利进行。

问题2 重述

问题2要求以西安市为例，基于该市的基础数据中的景点和住宿设施坐标集，设计一个优化的赛道方案。首先，需要建立一个评价函数，考虑节点的容量权重与邻近路网密度，并通过图形化展示来划分服务范围。目标是筛选出最优的起点-终点组合，保证赛道的总距离大于或等于42公里，并且起点3000米范围内的住宿容量大于等于3000人。同时，起点和终点应毗邻轨道交通站点。其次，将景点视为必经节点集，餐饮设施作为增益节点，设计一个符合国际马拉松标准的闭合回路。赛道设计需要满足坡度不超过5%的限制，每5公里设置一个补给站，并要求补给站靠近餐饮设施，以最大化选手的增益值和赛事体验。

问题3 重述

问题3在问题2的基础上，要求构建一个综合评估体系，旨在提升选手的舒适度，并减少对城市交通的干扰。在设计赛道时，需要量化赛道沿线的树荫覆盖率，并结合气象数据优化赛道走向，以减少选手在高温时段暴露于直射阳光下的距离。具体地，需要设计一个多目标优化算法，在树荫覆盖、交通影响和赛道坡度等多个因素之间进行平衡，生成若干候选赛道方案。此外，需要提出评估赛道科学性的量化指标，以确保所设计的赛道既符合赛事标准，又能为参赛者提供最佳的舒适度和体验，同时不会对城市交通产生过大的影响。

问题4 重述

问题4要求基于马拉松赛事的主题，设计具有收藏价值的限定纪念品，并结合参赛组别和成绩排名设置差异化的兑换权益。具体地，需要为不同的参赛组别设计合适的奖励方案，确保奖励与参赛者的表现和组别相匹配。通过优化年龄分组规则（如按5岁间隔细分组别），并结合历史成绩数据预测各组别的竞争激烈程度，可以为每个组别设定合理的奖品和奖励方式。此外，还需要设计一个赛前模拟排名工具，帮助参赛者了解自己的预期成绩和排名，从而为他们提供更合理的奖励方案，并激励他们提升成绩。

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二、问题分析

问题1 分析

在问题1中，我们的目标是选择合适的数据集并综合考虑气象适宜性、城市承载能力、人口规模及报名热度等核心要素，科学筛选出中国主要城市的马拉松赛事窗口期，并合理确定比赛时间、赛事规模与频次。首先，气象适宜性是选择赛事时间窗口的关键因素之一，气候条件如气温、降水量和风速会影响参赛者的表现和安全性。因此，气象数据必须精确且具有时效性，以预测最佳的赛事举行时段。城市承载能力与人口规模则直接影响赛事规模的选择，城市的交通、住宿、医疗等基础设施必须能够承载一定数量的参赛者。报名热度，主要由历史报名人数及其增长率体现，是决定赛事频次和规模的重要依据。通过对这些因素的综合分析，结合城市的特性和需求，能够科学确定最佳的赛事时间和规模安排。

问题2 分析

问题2的核心是基于西安市的基础数据进行赛道设计，包括选择最优的起点和终点组合，并对赛道的其他条件进行优化。问题的第一部分要求我们建立一个评价函数，考虑容量权重与邻近路网密度，选择最合适的起点和终点组合。此部分的挑战在于如何精确地衡量城市设施的容量（如住宿设施）与交通网络的密度，以及如何通过地图数据和地理信息系统（GIS）工具进行可视化和优化。第二部分要求将景点抽象为必经节点，餐饮设施作为增益节点，设计一个符合国际马拉松要求的闭合回路。在此过程中，我们需要平衡多个因素，包括赛道的坡度、补给站的设置、餐饮设施的分布等。赛道的坡度不得超过5%，并且每5公里必须设置一个补给站，同时补给站需邻近餐饮设施，保证选手的饮食补给需求。通过这些优化，我们能够提供一个既符合比赛要求，又能最大化参赛者体验的赛道方案。

问题3 分析

问题3要求我们在问题2的基础上构建一个综合评估体系，提升选手舒适度并减少对城市交通的干扰，特别是考虑如何量化分析赛道沿线的树荫覆盖率，并结合气象数据优化赛道走向，以减少选手在高温时段暴露于阳光下的距离。树荫覆盖率是影响选手舒适度的重要因素，尤其在气温较高的时段，树荫可以有效减少太阳直射和高温对选手的影响。结合气象数据，我们可以优化赛道走向，选择树荫覆盖较好的区域。为了达到这个目标，我们需要设计一个多目标优化算法，综合考虑树荫覆盖、交通影响、赛道坡度等因素。在该算法中，树荫覆盖应当最大化，交通干扰应最小化，而坡度要保持在适宜范围内。通过生成若干候选路线方案，我们可以依据多个科学性量化指标（如舒适度评分、交通流量、坡度等）对赛道进行评估，并最终选择最佳赛道方案。

问题4 分析

问题4的核心在于设计具有收藏价值的限定纪念品，并结合参赛组别、成绩排名设置差异化兑换权益。纪念品设计不仅需要满足赛事主题的要求，还要考虑其收藏价值和吸引力。限定纪念品的设计应具有独特性，可以根据赛事的历史背景、城市特色等元素来定制，吸引参赛者的兴趣。与此同时，根据参赛者的成绩和组别，设置差异化的兑换权益，可以通过历史成绩数据预测不同组别的竞争激烈程度，优化奖励分配。年龄分组规则的优化是关键，按照5岁为间隔进行细分，可以更加科学地平衡不同年龄段参赛者的竞争强度。历史成绩数据对于预测各组别的竞争激烈程度非常重要，借助这些数据，可以为参赛者提供一个赛前模拟排名工具，帮助他们了解自己的潜在排名，并制定合理的目标。同时，合理的奖励方案可以激励选手的参与热情和表现。通过这些设计，我们不仅能够优化赛事奖励方案，还能提升赛事的整体吸引力和品牌价值。

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5.1.1问题1思路分析

1. 赛题背景分析

根据赛题背景，马拉松赛事已经成为了重要的城市经济活动，尤其在一些大城市中，马拉松赛事的成功举办不仅带来了显著的经济效益，还提升了城市品牌和文化影响力。然而，赛事的成功与否，离不开多个核心因素的协同作用，包括气象条件、城市承载能力、人口规模、报名热度等。因此，问题1的目标是通过综合考虑这些要素，科学地筛选出适合举办马拉松赛事的时间段、合理确定赛事的规模与频次。

2. 数据集选择与整合

要解决这一问题，首先需要从附件数据中选择与气象适宜性、城市承载能力、人口规模以及报名热度相关的数据集。具体而言：

气象数据（附件1）：气温、风速、降水量等因素直接影响马拉松赛事的举办时机和选手的体验，因此选择合适的气象数据（如年均气温、降水量、风速等）是至关重要的。

人口数据（附件3）与城市承载能力数据：城市的承载能力和人口规模是赛事举办的重要基础。可以从人口密度和城市规模来推测马拉松赛事的适应能力，包括城市的公共服务能力、交通承载能力以及医疗设施等。人口的年龄分布（如青年、中年群体的比例）也会影响报名人数和参与热度。

轨道交通数据（附件2）：城市的交通便利程度直接影响赛事的承载能力与参赛者的出行便利性。通过分析城市轨道交通的客运量和密度，可以预估赛事期间交通的流量，从而优化赛事的时间和规模。

历史报名数据（附件12）：通过分析各大城市的历史报名数据，可以得出每年马拉松赛事的报名热度、参赛者增长趋势及其影响因素，从而帮助我们预测未来马拉松赛事的报名人数和规模。

3. 关键因素分析

要科学筛选赛事的窗口期、确定比赛时间、赛事规模和频次，需要从以下几个核心要素进行分析：

气象适宜性：气象条件直接影响赛事的舒适度与安全性。需要通过气象数据判断哪些季节和月份气温适宜、降水量较少，减少极端天气对赛事的不利影响。可以通过分析每年不同月份的气候数据，筛选出气候最适宜举办马拉松赛事的时段（例如温度适中、降水少的春秋季节）。

城市承载能力：根据城市的基础设施、交通网络以及公共服务能力评估赛事的承载能力。需要结合轨道交通和人口密度数据，评估赛事期间城市的交通流量、人员聚集情况及其对城市正常运作的影响。如果交通压力过大，可能需要选择交通更为畅通的时段或采取相应的交通管理措施。

人口规模与结构：人口的规模和结构直接影响马拉松的参赛人数和赛事的参与热情。需要分析各大城市的人口总量和年龄结构，评估哪些城市有较大的马拉松参与基础，并预测未来几年的报名人数增长趋势。

报名热度：通过历史报名人数及其增长率的数据，分析马拉松赛事的参与热度和发展趋势，判断哪些城市的赛事受欢迎程度较高，哪些城市的赛事潜力较大。此外，还可以通过报名人数的变化规律，预测未来赛事的规模。

4. 模型构建与优化

综合以上数据分析，下一步是构建一个数学模型，优化赛事窗口期、赛事规模和频次的选择。具体方法包括：

时间选择优化：基于气象适宜性和交通压力，选择最适合举办赛事的时间窗口。这可以通过建立一个多因素评价模型，综合评估不同时间段的气候和交通状况。

赛事规模预测：根据历史报名数据和城市人口规模，预测每个城市马拉松赛事的参与人数及规模。可以运用回归分析或时间序列分析方法，对未来几年报名人数和赛事规模进行预测。

频次选择：确定每年应举办多少场马拉松赛事，以及每场赛事的规模。可以通过分析历史数据中的赛事频率和报名人数的变化趋势，确定最佳的赛事频次。

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5.2.1问题2思路分析

1. 问题2的目标与约束

问题2主要分为两个子问题，目标是为西安市设计一个优化的马拉松赛事赛道。该赛道需要满足一系列特定的约束条件，并通过优化模型选出最优的路线。具体来说，问题2包含两个部分：

1. 部分（1）：选择最优的起点和终点，满足以下条件：

起点和终点之间的距离至少为42公里。

起点周围3000米内的住宿容量大于或等于3000人。

起点和终点毗邻轨道交通站点。

2. 部分（2）：在选择赛道时，考虑景点和餐饮设施等因素，设计一个符合国际马拉松标准（全马、半马、健康跑）的闭合回路：

赛道的坡度限制为5%以内。

每5公里设置一个补给站，且补给站需位于餐饮设施附近。

在选择路径时，考虑餐饮设施作为增益节点，每通过一个增益节点获得0.2的增益。

2. 部分（1）: 选择最优起点终点组合

目标：选择两个城市位置作为起点和终点，优化它们的组合，使其满足比赛的各项要求。主要目标是：

确保路线距离满足42公里的要求。

满足起点附近的住宿容量要求，确保赛事期间有足够的住宿容量供选手和观众使用。

起点和终点应当方便参赛选手的交通，确保它们都毗邻轨道交通站点。

建模思路：

起点与终点的选择：通过地理信息系统（GIS）技术，选择合适的起点和终点。起点和终点应该位于西安市中心区域，并通过轨道交通站点进行连接。

路径优化：在选择好起点和终点后，可以通过图论算法（如最短路径算法、Dijkstra算法等）来计算起点与终点之间的最短路径，确保路径满足42公里的最短距离要求。

住宿容量约束：使用西安市的住宿设施数据，确保起点3000米范围内的住宿容量大于或等于3000人。

轨道交通要求：确保起点和终点都在轨道交通的站点附近，选择合理的公共交通接入点，方便参赛选手和观众的出行。

3. 部分（2）: 设计闭合回路赛道

目标：设计一个符合国际马拉松标准的闭合赛道，并在赛道选择过程中，优化增益节点，最大化赛事体验。赛道需要满足以下条件：

全马、半马、健康跑标准：根据比赛的要求，赛道必须符合全马、半马或健康跑的距离要求。赛道设计应考虑到不同跑者的需求，可能需要根据赛事类型调整路线的长度。

坡度要求：赛道的坡度不能超过5%，这意味着在设计赛道时需要选择地形平坦的道路。

补给站设置：每隔5公里设置一个补给站，并且补给站应尽量靠近餐饮设施，这样可以为参赛选手提供及时的补给。通过餐饮设施作为增益节点，增加赛道的吸引力和参与感。

建模思路：

景点与餐饮设施的影响：景点可以作为赛道中的必经节点，而餐饮设施则可以作为增益节点。我们可以将这些设施作为图的节点，使用图论算法（例如旅行商问题算法）来寻找最优的赛道路径。

增益计算：每经过一个餐饮设施，可以获得一个增益值（+0.2）。在优化过程中，我们需要计算出不同路径的增益，并选择具有最大增益的赛道路径。

路径设计与坡度控制：在选择路径时，需要综合考虑坡度限制（≤5%）和每5公里设置补给站的条件。可以结合地形数据（如西安市地形数据）来计算路径的坡度，并确保选择的路径符合要求。

闭合回路设计：为了满足国际马拉松的赛道要求，设计的赛道必须是一个闭合回路，即起点和终点必须连通。可以使用最短路径算法或模拟退火算法来寻找最佳的闭合回路路径。

4. 综合优化模型

综合考虑上述所有因素，最终的目标是设计一个最优的赛道路线，最大化选手的体验，并确保赛事的顺利进行。可以通过多目标优化算法（如遗传算法、粒子群优化等）来优化赛道的设计，平衡不同约束条件，如：

满足全马、半马和健康跑的距离要求。

满足坡度限制、补给站设置要求。

确保每条路径的增益最大化，同时满足住宿、交通等约束条件

5.4.1问题4思路分析

问题4主要包括两部分内容，第一部分是设计具有收藏价值的限定纪念品，第二部分是优化参赛组别与成绩排名设置，结合历史成绩数据提供合理的奖励方案。我们将通过以下几个步骤进行分析和建模：

1. 设计具有收藏价值的限定纪念品

目标：设计一款符合马拉松赛事主题的限定纪念品，使其既有收藏价值，又能够吸引参赛者的兴趣。纪念品设计不仅需要具有马拉松赛事的文化特点，还要考虑到其纪念价值和长期吸引力。

分析方法：

赛事主题与文化结合：首先，纪念品的设计需要与马拉松赛事的主题紧密结合。例如，可以结合赛事举办城市的特色或历史背景，将城市地标、马拉松赛事的精神元素融入到纪念品设计中。

纪念品的独特性：纪念品的独特性是其收藏价值的核心。通过限定发售、编号等手段，使得每个纪念品都具有独一无二的价值，激发参赛者对该纪念品的兴趣和收藏欲望。

材质与制作工艺：纪念品的材质和工艺设计也非常关键。采用高质量的材质（如金属、陶瓷、定制的纪念奖牌等）和精细的工艺，使纪念品更加具有收藏价值。

文化价值：结合赛事文化，如赛事的历史、参赛者的努力与付出等，设计具有文化象征意义的纪念品，例如奖牌、徽章等。这些纪念品不仅仅是物品，更是参赛者对自己参与赛事的纪念和象征。

2. 差异化兑换权益与参赛组别优化

目标：根据参赛组别和成绩排名设计差异化的兑换权益，为不同组别的参赛者提供有针对性的奖励方案，提升赛事的参与感和满意度。

分析方法：

参赛组别的设计：按照年龄段、性别等因素对参赛者进行分组，确保每个组别的参赛者在同等条件下竞争。组别设计应该科学合理，避免出现某个组别竞争过于激烈或过于松散的情况。

可以按照固定年龄区间（例如每5岁为一组）来划分组别，也可以根据参赛者的历史成绩或其他参数进行分组。这样的设计有助于增加赛事的公平性和观赏性。

历史成绩数据的利用：通过对参赛者历史成绩数据的分析，预测各个组别之间的竞争激烈程度。可以使用历史成绩数据来预测各组别的竞争强度，从而为不同的组别设计合适的奖励策略。

例如，对于一些竞争激烈的组别，可以设置更高的奖励标准或更多的名次奖励，而对于竞争较小的组别，可以适当降低奖励标准或设置不同的奖品种类。

差异化奖励设计：根据组别的不同和成绩排名的不同，设计差异化的兑换权益。例如，某些组别的冠军可以获得限量版纪念品、金牌奖牌等，而其他组别的参赛者则可以获得不同等级的奖品。还可以为不同成绩的参赛者提供特殊兑换权益，例如积分兑换或兑换不同等级的奖品。

奖励方案的激励作用：通过差异化的奖励设计，激励参赛者争取更好的成绩。例如，可以设计一种积分制奖励机制，根据参赛者的成绩进行积分，积分达到一定数量后可以兑换更多的奖励。这样的奖励方式能够激发参赛者的参与热情，并激励他们不断挑战自己。

3. 赛前模拟排名工具的设计

目标：为参赛者提供赛前模拟排名工具，帮助他们了解自己在比赛中的位置，并为其制定合理的奖励方案。

分析方法：

历史成绩数据的分析：基于历史成绩数据，我们可以对不同组别、不同水平的参赛者进行分析，预测他们在赛事中的表现。历史成绩数据可以帮助我们了解哪些参赛者可能会获得较高的名次，哪些参赛者的竞争力较弱。

模拟排名工具：利用历史成绩数据，设计一个赛前模拟排名工具，帮助参赛者在赛前估算自己可能的排名和成绩。这个工具可以根据参赛者的年龄、性别、历史成绩等参数，结合赛事的历史数据，提供一个大致的预测排名。

例如，基于历史成绩数据的回归分析或机器学习算法，可以为参赛者提供一个模拟排名，显示他们在不同组别中的预期位置。

模拟结果与奖励方案的关联：参赛者可以根据模拟排名的结果，制定合理的目标和训练计划。根据模拟排名的结果，赛事组织者可以为参赛者提供个性化的奖励方案。

例如，如果某个参赛者模拟排名较高，可能会获得更多的奖励或更高等级的纪念品，而模拟排名较低的参赛者可以获得激励奖品或参与奖。