变压器模型理论分析

• 对于任意的无源电路或者等效电路，当画完原理图后，能否认为已经知道其中的两个节点？vin和vout之间的明确解析解

• 是否存在一个通用的算法，将这里的所有元素都变成了符号，使得这个算法本身就是一个函数，这个函数本身输入就是两个节点的net名称或电流电压名称。输入进去之后，输出就是其函数解析解的表达式了。令这个表达式为0就可以求出其零点和极点了呢？（答案是可以的）

• 在kicad软件上画出电路图
  

• 然后导出网表
  
  

• 导出之后就可以运行跑了

• 因为这里引入了这个程序，所在网表的位置

• 这个软件是maxima，是跟mathematica是一样的工具。

• 首先加载了电路的元件，把电路的网表输入进去。
  
  

• 任何电路都是可以用网表的形式呈现的。
  
  

• 然后是引入器件

• ckt是网表默认的名称，是得sycira（ckt）读出来的东西赋值给sys变量。

• sys将电路网表翻译成了矩阵方程。
  

• 其中第一大项是所有的方程，第二大项是待求解的变量

• 求解完成后，就变成了所有可能得解析解的排列组合
  

• 然后solve这个sys变量。sys是根据基尔霍夫定律求解的。

• 求解的算法是modify node analysis（mna），这个东西可以解出各种解析解。

• 然后就自动求解方程了。
  

• 冒号：表示的是赋值

• G是电路图（graph）

• ev是创造子变量空间，在这里面列的就可以定义为表达式子

• sol[1]是求解完后的第一项。

• 这相当于是在求解Z21
  

• 然后将其化简，vin除以Iin。

• 这里先把vin的表达式提取出来，因为Iin是一个已知的量，且vin的里面是含有Iin的。

• 这样就可以得到Z21
  

• 这里做了假设，s=jw

• %i就表示虚数j
  

• 这里在求解realZin=50，和imagZin=0

• letsimp就是把某个假设用在表达式中

• %o6是第六行的输出

• 也就是令L1和L2等于下面这个表达式

• 最后可以解出和k有关的Z21
  

• 然后一键求解L1和L2

• 这样就能实现以k为自由变量去求解。
  

• 问题：是否任何一个电路都可以用类似的算法求出任何的解析解。

• 电路能求解析解是因为计算机把电路翻译成了网表，网表翻译成了矩阵。进一步的疑问是，在任何一个这样的符号矩阵中，是否都存在解，如果存在解的极限是什么。换句话说，如果有一个nxn的矩阵，求解这样矩阵的逆，

• 这里表达式好像打错了
  

输入匹配案例模型

• 对于这个电路图的Z21
  
• Z32发生了变化
  
• 如果将alpha的值变大，影响就会进一步加大。
• 将alpha1改为0.1e10
  
• 将alpha1改为0.1e10
  
• 这时候影响就不可忽略了
• 蓝色的斜线是建的最优值model，其物理意义是考虑了初级和次级线圈的内阻情况下，相对于不考虑内阻的极限值的区别。换句话说，就是把两个内阻通过电路变换的形式转移到源阻抗和负载阻抗上了，以修正了对链路预算最大值的评估。
  
• 这条斜线是如何修正从不带Ra和Rb到带上Ra和Rb的呢？
• 也就是下面这个式子是如何来的？
• 这包括了两部分，一个是对R2的修正，一个是对R1的修正。其中这个R2就是Rgs
• 将管子作为一个黑盒子，所能达到的输出，如果已经做了逆提取的话，真正抽出来的节点是R2和Cgs之间的节点，这个时候的表达式就不一样了。
  
• 按照这个式子得到的是这个电路图
• 从下图中的的红色虚线平面进行推导，根据阻抗匹配定理，由于S11等于0，约等于50欧姆那一侧的Ra左侧等于0，忽略反射系数的影响，一个端面匹配则另一个端面也匹配（共轭传播定理），等于L2的右侧（也就是Rb的左侧）也是共轭的，从共轭到共轭，能量没有损耗。
• 这样变压器就满足能量守恒，I1^2R1=I2 ^2R2
• 推导最优值的Z21，从Is开始推导，（先忽略Ra），Is如果在Ra左侧就匹配了，那么就有一半的电流流向变压器，则变压器上的I1等于1/2的Is，若想知道输出的电压，我们只需要推导出I2即可，因为次级的表达式和符号都是已知的，而次级的R2和Cgs是产生了Vout。
  

---

需要完成的任务

• 版图中提取变压器参数alpha和beta，使得寄生电阻RL=alphaL，寄生电容CL=betaL
• 不考虑初级线圈，初级线圈的电容吸收到初级电感中，只提取出次级线圈的寄生电阻和电容
• 需要我们先画出pcell，然后做逆提取。要做出两部分，一部分是精确的模型，一部分是design based的模型。再用design based的模型跟端口阻抗等效电路（Rg和Cg）做一个联合仿真分析，并在其中找到最优解。
• 通过逆提取得到alpha和beta值

• 先提取出来，再去吸收。
• 初级线圈的Ra先要被考虑，在这基础上再加上π网络。
• 先用下面这个电路做出来，然后再去吸收。
• 这样拟合相当于是model vs em。
  
• 然后把C7在一个频带上吸收到初级线圈L1里，即对L1进行了一次数值修正，让其在5G频带以内是准确的。
• 然后不管Ra
• 然后看Cc（即C6）要如何处理。Cc可以适当的吸收到k里面，因为k在正常情况下是不能随着频率变化的。
• C8是不能忽略的
• 最终吸收成这样的模型，并用这个简化模型去求解析解和数值解，这样就完成了整套东西。
  
• 要画出横轴是k，纵轴是Z21的曲线。或者横轴是频率，参变量是k。

---

• 变压器的sp文件仿真参考这篇博客
  链接: 基于ADS的电感和变压器的建模过程
• 即初级线圈是单端激励，次级线圈是差分激励

---

笔记一

• 只有在Q的峰值前那段感值曲线仿真出来的才是线性的，越靠近Q的平面越不可能是常数
• 在变压器中，我们不可能将其用在谐振频率上面，
  

需要参考的论文

• 上面的这个建模方法思路是很不错的，但是比较复杂，这里我们可以参考一篇博士论文《硅基毫米波无源器件建模及锁相环设计_高宗智》
• 查看论文的3.3.3节
• 使用这下面的式子
  
  
• 如果考虑中心抽头的影响，我们指导在VCO变压器中共模是不可忽略的，中心抽头加上偏置线，用这种design based是不准的。
• 下面这篇论文提供了另一种思路
• 如果往第3、6、4端口（即次级线圈的三个端口）加入同样大小的电压源时候，它到P1端口的所有耦合就可以被计算出来，因为它整个都是等电位的，当地3、6、4端口都等电位的时候，电感的支路就不起作用了。
• 这种方法通过解方程的手段，在把电路进行拆解，使得到中心抽头的耦合都可以被考虑。

笔记二

实际变压器仿真效果

• 在这里，使用顶层M9，底层两圈的M8，
  
• 在仿Z参数的时候，需要有一个加入对地的阻抗值
  
• 另一个是需要单独看反射系数的图
  
  

• 在这里设定了Z21为dBZ54
  
• L1是初级线圈（160pH），L2是次级线圈（900pH），L2已经把自谐振电容Cc吸收进去了，所以它不会是一个频变的值。在这里实现了1:6，利用了次级线圈的自谐振电容，将电感感值峰化了，增加了电感等效感值，使得左侧到右侧可以实现非常夸张的阻抗变换。
• 如果初级使用M9，而次级使用M8，电阻R的值会变得特别夸张，到十几欧姆了，所以不能忽略次级线圈的电阻。
• 如果只关注S11的话，相当于用R2做匹配，如果R2被归纳到Rg中，Q=1/RC，那么Q就变小了，S11就更好匹配了。这是用M8的R2起到的效果。
  
• 然后，我们把频率范围变得更大来观察。
• 由于初级线圈和次级线圈的谐振频率是相关联的，所以在60GHz就谐振了。
• 初级线圈有一侧接地的话，那么其谐振频率就会下降，因为有一侧的电容消失了。
  
  
  
  
• 初级线圈半径75，次级线圈半径105，间隔8
  
• 搭建好这样的电路后，先进行手调。得到Z21和S11的结果，及变压器内部的参数性质。先实现在28-30G匹配，2-3GHz的带宽
• 负载统一用下面取值的负载。
  
• 可以比较一下，初级用M9和用M8的区别是什么。

• 调出来之后，进行反提取。按照design based的建模方法，得到L1L2kCcC1C2，在10-20GHz的频带上与电磁仿真的结果曲线有什么区别。
• 第二步进行scable变换，以这个为中心，对变压器尺寸进行展开，稍微展开几组，在这个范围内去看alpha和beta变化的范围大不大，能否用线性函数做拟合。然后回纠结，能否把表达式写进去，如果他不是线性写起来会非常复杂。
• 这时候可以打开Help的ANN，然后自己去百度搜教程
  
• 这样就可以逐渐具备把建立的模型用于设计了。