本篇博客参考自上海大学刘树林老师的课程。B站课程链接：https://www.bilibili.com/video/BV17t4geUEvQ/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=74af336a587568c23a499122c8ffbbee

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传统策略梯度训练面临的问题

其他方法的改进

TRPO算法的贡献

传统方法容易出现策略网络不稳定的问题，基于这个问题，TRPO算法把两次策略$\pi$的差异设置到一个很小的邻域内。简单说就是“小步、稳走、达到最优策略”。

下图展示了该优化方法的基本思想。目标函数是$J(\theta )$，该函数当前的参数是${\theta }_{now}$，该函数很难处理，具体参数/曲线也未知。在${\theta }_{now}$的邻域中，找一条更容易处理的、简单的曲线$L(\theta |{\theta }_{now})$。函数$L(\theta |{\theta }_{now})$和函数$J(\theta )$是不一样的，但是在邻域${\theta }_{now}$内，函数$L(\theta |{\theta }_{now})$是可以逼近函数$J(\theta )$的。这个阈就被称作置信阈。在这个置信阈中，求曲线$L(\theta |{\theta }_{now})$的最大值，把这个最大值对应的新参数${\theta }_{now}$作为下一个点继续求解。然后再求近似、求最大值…… TRPO借助了这个思想。

下式就是策略梯度定理，$A_{\pi }(S,A)$是优势函数。关键要解决两个问题：（1）要使得训练前后的两个策略可控；（2）旧策略收集的数据能够被策略网络多次应用以提升策略训练效果。
解决问题（1）：对训练前后的两个策略施加约束；
解决问题（2）：使用离轨策略。

下图展示了TRPO是如何解决这两个问题的。
（1）把原先的同轨策略改造成离轨策略。把现有的策略${\pi }_{old}$作为一个旧策略，让旧策略去取数据/和环境互动，把训练的策略${\pi }_{new}$作为一个新策略。所以现在即有两个策略网络。把旧策略取到的数据$A_{{\pi }_{old}}(S,A)$来训练新策略，得到新策略的网络参数${\theta }_{new}$。
（2）增加置信阈。利用KL散度进行约束。KL散度是衡量两个概率分布差异的非对称性指标。在信任域策略优化（TRPO）中，使用KL散度限制策略更新的幅度，确保新策略与旧策略的差异不超过阈值 $\delta$。

PPO算法对TRPO的改进

用KL散度的目的是使得新策略和旧策略比较接近，但这样做比较麻烦。干脆取一个很小的$ϵ$，把新旧策略的比值控制在$[1-ϵ,1+ϵ]$之间。当比值超过上边界/下边界的时候，强行让比值等于对应的上下边界值。

PPO算法流程

第一模块：采集数据
第1步：将当前策略网络参数作为旧策略网络参数${\theta }_{old}$。
第2步：将初始状态$s_0$输入旧网络策略中，由于状态s和动作a均连续，策略网络采用随机高斯策略框架，策略网络的输出为动作a所服从正态分布的均值${\mu }_{old}$和标准差${\sigma }_{old}$，由此可以得到高斯分布策略函数${\pi }_{old}(a|s,{\theta }_{old})$，然后抽样选择动作：$a_0$~${\pi }_{old}(\cdot |s_0,{\theta }_{old})$，并与环境产生交互，环境给出相应的奖励$r_1$，同时状态更新为$s_1$，上述过程就产生了一个四元组$(s_0,a_0,r_1,s_1)$。继续以上循环，可以得到多个四元组$(s_0,a_0,r_1,s_1)$，$(s_1,a_1,r_2,s_2)$，…，将其储存在经验记忆库中，供训练使用。

第二模块：计算状态价值函数和优势函数
第1步：从经验记忆库中按照时序依次取出四元组$(s_0,a_0,r_1,s_1)$，$(s_1,a_1,r_2,s_2)$，…，将其依次输入价值网络中，计算
$$q_0=V(s_0;w)和q_1=V(s_1;w)，...$$
第2步：计算TD目标
$$y_0=r_1+\gamma q_1$$
第3步：计算TD误差
$${\delta }_0=q_0-y_0$$
第4步：计算优势函数$A_t$。优势函数$A_t$的引入是为了减小策略梯度中产生的方差，为了达到更好的效果，PPO-Clip算法采用了广义优势估计（GAE）近似优势函数$A_t$。

如下图所示，A2C方法用的是下图中的$A_t^{(1)}$进行计算的，这样计算的偏差比较大。$A_t^{(k)}$类似于蒙特卡洛方法，但它的问题则是方差比较大。为了弥补两个方法的不足，干脆将$A_t^{(1)}$到$A_t^{(k)}$都算出来，分别求单步时序差分、两步、三步，…，再做平滑，这样就能弥补方差和偏差大的问题。这就是一种广义优势函数。

下图是广义优势估计的定义。这种再次加权，相当于对偏差和方差做出了平衡，这个效果比单用一个优势函数的效果要好得多。

第三模块：更新评估网络
第1步：计算评估网络（价值网络）的损失函数。这里用均方误差MSE（Mean Squared Error，MSE）来定义评估网络的损失函数，公式表示为针对任意时间步 $t$ 时刻的预测值$V(s_t;w)$与目标值 $r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1};w)$ 之间的差异。
L ( w ) = { V ( s t ; w ) − [ r t + 1 + γ V ( S t + 1 ; w ) ] } 2 L(w)= \{V(s_t; w)- [r_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}; w)]\}^2 L(w)={V(st​;w)−[rt+1​+γV(St+1​;w)]}2
第2步:针对任意时间步时刻，计算损失函数梯度。
∇ w L ( w ) = 2 { V ( s t ; w ) − [ r t + 1 + γ V ( s t + 1 ; w ) ] } ∇ w V ( s t ; w ) = 2 δ t ∇ w V ( s t ; w ) \nabla_wL(w)=2\{V(s_t;w)-[r_{t+1} + \gamma V(s_{t+1};w)]\} \nabla_w V(s_t; w) = 2 \delta_t \nabla_w V(s_t;w) ∇w​L(w)=2{V(st​;w)−[rt+1​+γV(st+1​;w)]}∇w​V(st​;w)=2δt​∇w​V(st​;w)
第3步:针对任意时间步t时刻，更新评估网络。
$$w\leftarrow w-2\alpha {\delta }_t{\nabla }_w(s_t;w)$$
还可以采用小批量更新方法。

第四模块：更新策略网络
第1步：针对所有四元组$(s,a,r,s)$中的$s$、$a$，分别由动作$a$概率分布的均值${\mu }_{old}$和标准差${\sigma }_{old}$构造高斯分布旧策略函数（动作概率密度函数）${\pi }_{old}(a|s,{\theta }_{old})$，并计算自然对数$log{\pi }_{old}(a|s,{\theta }_{old})$。

第2步：针对本模块第1步计算出的每个$log{\pi }_{old}(a|s,{\theta }_{old})$，依次单独训练当前网络。

（a）在每次训练中，将四元组$(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})$中的$s_t$输入当前策略网络中由动作$a$，概率分布的均值${\mu }_{new}$和标准差${\sigma }_{old}$构造高斯分布新策略函数(动作概率密度函数)${\pi }_{new}(a_t|s_t,{\theta }_{new})$，并计算自然对数$log{\pi }_{new}(a_t|s_t,{\theta }_{new})$。