二值化——局部阈值方法
- 自适应阈值算法
- Niblack算法
- Sauvola算法
自适应阈值算法
自适应阈值算法1用到了积分图（Integral Image）的概念。积分图中任意一点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)的值是从图左上角到该点形成的矩形区域内所有值的和。即：
I
(
x
,
y
)
=
∑
x
′
≤
x
y
′
≤
y
i
(
x
′
,
y
′
)
I(x,y)=\sum_{\substack{x'\leq x \\ y' \leq y}}i(x',y')
I(x,y)=x′≤xy′≤y∑i(x′,y′)
比如下图中的
9
9
9，就是左上角的
4
+
1
+
0
+
4
4+1+0+4
4+1+0+4
自适应算法的主要思想是以一个像素点为中心设置大小为 s × s s \times s s×s 的滑窗，滑窗扫过整张图像，每次扫描均对窗口内的像素求均值，并将均值的 1 − t % 1-t \% 1−t% 作为局部阈值 。若窗口中心的像素值低于局部阈值 ，赋值0；高于局部阈值 ，赋值为255。这种算法需要对很多相互有重叠的区域进行多次加和计算。而积分图的使用可以有效地降低计算的复杂度和操作总次数。
为了计算积分图，需要在每个位置存储其左边和上方所有
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 值的总和：
I
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
+
I
(
x
−
1
,
y
)
+
I
(
x
,
y
−
1
)
−
I
(
x
−
1
,
y
−
1
)
I(x,y)=f(x,y)+I(x-1,y)+I(x,y-1)-I(x-1,y-1)
I(x,y)=f(x,y)+I(x−1,y)+I(x,y−1)−I(x−1,y−1)
得出积分图之后，从滑窗左上角
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)到滑窗右下角
(
x
2
,
y
2
)
(x_2,y_2)
(x2,y2)的矩形内的数值总和均可以使用式（1.1）计算：
∑
x
=
x
1
x
2
∑
y
=
y
1
y
2
f
(
x
,
y
)
=
I
(
x
2
,
y
2
)
−
I
(
x
2
,
y
1
−
1
)
−
I
(
x
1
−
1
,
y
2
)
+
I
(
x
1
−
1
,
y
1
−
1
)
(
1.1
)
\sum_{x=x_1}^{x_2}\sum_{y=y_1}^{y2}f(x,y)=I(x_2,y_2)-I(x_2,y_1-1)-I(x_1-1,y_2)+I(x_1-1,y_1-1) \qquad (1.1)
x=x1∑x2y=y1∑y2f(x,y)=I(x2,y2)−I(x2,y1−1)−I(x1−1,y2)+I(x1−1,y1−1)(1.1)
如下图中左上角
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)到右下角
(
x
2
,
y
2
)
(x_2,y_2)
(x2,y2)的矩形
D
D
D内的数值总和由它左边
C
C
C和上边
B
B
B以及左上角
A
A
A的矩形算得：
(
A
+
B
+
C
+
D
)
−
(
A
+
B
)
−
(
A
+
C
)
+
A
(A+B+C+D)-(A+B)-(A+C)+A
(A+B+C+D)−(A+B)−(A+C)+A
或者仍然用下面这张图来理解吧：
如果红色方框为滑窗区域，在原始数据中的和是
4
+
1
+
1
+
0
=
6
4+1+1+0=6
4+1+1+0=6。如果要通过右边的积分图来运算的话，就是
16
−
7
−
7
+
4
=
6
16-7-7+4=6
16−7−7+4=6。可以看到用积分图计算出来的结果是准确的。
滑窗矩形区域的均值则为：
m
(
x
,
y
)
=
∑
x
=
x
1
x
2
∑
y
=
y
1
y
2
f
(
x
,
y
)
(
x
2
−
x
1
)
⋅
(
y
2
−
y
1
)
(
1.2
)
m(x,y) = \frac{\sum_{x=x_1}^{x_2}\sum_{y=y_1}^{y2}f(x,y)}{(x_2-x_1) \cdot (y_2-y_1)} \qquad (1.2)
m(x,y)=(x2−x1)⋅(y2−y1)∑x=x1x2∑y=y1y2f(x,y)(1.2)
接着，就可以计算局部阈值了：
T
(
x
,
y
)
=
m
(
x
,
y
)
⋅
100
−
t
100
(
1.3
)
T(x,y) = m(x,y) \cdot \frac{100-t}{100} \qquad (1.3)
T(x,y)=m(x,y)⋅100100−t(1.3)
整个自适应阈值算法的过程共扫描全图2次：
- 第一次扫描获得积分图；
- 第二次扫描根据式 (1.1) 和 (1.2) 计算每次扫描窗口内像素值的平均值，然后根据 (1.3) 计算局部阈值。若窗口内某一像素点的值大于该阈值，则对应输出255，反之则输出0。
Niblack算法
Niblack算法同样是根据窗口内的像素值来计算局部阈值的，不同之处在于它不仅考虑到区域内像素点的均值和方差，还考虑到用一个事先设定的修正系数
k
k
k来决定影响程度。
T
(
x
,
y
)
=
m
(
x
,
y
)
+
k
⋅
s
(
x
,
y
)
T(x,y)=m(x,y)+k\cdot s(x,y)
T(x,y)=m(x,y)+k⋅s(x,y)
- T ( x , y ) T(x,y) T(x,y)为阈值；
- m ( x , y ) m(x,y) m(x,y)为均值；
- s ( x , y ) s(x,y) s(x,y)为方差？标准差；
上式的定义的阈值的含义为与窗口内像素值的均值相差 k k k个标准差的值。小于阈值的判定为北京，反之则判定为前景。
Niblack算法的缺陷主要有两方面：
- r × r r \times r r×r 的滑窗会导致在边界区域 ( r − 1 ) / 2 (r-1)/2 (r−1)/2 的像素方位内无法求取阈值；
- 如果 r × r r \times r r×r 滑窗内全部是背景，那么该算法必然会使该区域一部分像素点成为前景，形成伪噪声。
因此，滑窗的边长 r r r 的选取非常关键——若窗口太小，则可能会被背景包含，从而不能有效的抑制噪声；若窗口太大，则会导致细节丢失。
Sauvola算法
Sauvola算法2使针对文档二值化处理，在Niblack算法基础上的改进：
T
=
m
[
1
+
k
(
s
R
−
1
)
]
(
3.1
)
T=m \left[1+k(\frac{s}{R}-1) \right] \qquad (3.1)
T=m[1+k(Rs−1)](3.1)
- R R R 是标准方差的动态范围，若当前输入图像是8位灰度图像，则 R = 128 R=128 R=128。
Sauvola算法在处理光线不均匀或染色图像时，比Niblack算法拥有更好的表现，因为（3.1）式以自适应的方式放大了标准差的作用。
乘以
m
m
m 系数会降低背景区域阈值的范围，这可以有效地减少染色、污渍等带来的影响。
从上图可以看出，在光照不均匀的情况下，Sauvola算法比Niblack能保留更多的细节。
Bradley D, Roth G. Adaptive Thresholding using the Integral Image. Journal of Graphics Tools ,2007, 12:2, 13-21. DOI: 10.1080/2151237X.2007.10129236 ↩︎
Lazzra G, Geraud T. Efficient Multiscale Sauvola Binarizaiton. International Journal on Document Analysis and Recognition, 2014, 17(2); 105-123. DOI: 10.1007/s10032-013-0209-0 ↩︎
