引言

Scikit-learn 是一个开源的机器学习库，它支持 Python 编程语言。它提供了多种机器学习算法的实现，并用于数据挖掘和数据分析

一、正规方程的定义

在机器学习中，线性回归是一种预测连续值（如房价、温度等）的监督学习算法。闭式解线性回归，也称为正规方程（Normal Equation）方法，是一种直接计算线性回归模型参数的方法，无需迭代

二、正规方程的原理

对于线性回归问题，我们通常有如下形式的模型：
$y=b+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n$
其中 $y$是目标变量，$x_1,x_2,...,x_n$是特征，$w_1,w_2,...,w_n$ 是特征对应的权重，$b$ 是截距。
我们的目标是找到权重 $w$ 和截距$b$，使得模型预测的误差最小。在正规方程方法中，我们通常使用均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数，其形式如下：
$J(w,b)=\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m(h_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$
其中 $m$是样本数量，$h_{w,b}(x)$ 是我们的假设函数（线性模型）。
为了最小化损失函数 $J(w, b)4，我们对 $w$和 $b$进行求导，并令导数等于零。通过这种方式，我们可以得到 $w$ 和 $b$ 的闭式解：
$w=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$
$b=\bar{y}-w^T\bar{x}$
其中：
-$X$是一个 $m\times n$ 的矩阵，包含了所有样本的特征（每一行是一个样本，每一列是一个特征）。

• $X^T$ 是 $X$ 的转置。
• $\bar{x}$ 是所有样本特征的平均值。
• $\bar{y}$ 是所有样本目标值的平均值。

三、使用 Scikit-Learn 实现基于正规方程的闭式解线性回归

• 利用开源的、可用于商业目的的机器学习工具包— scikit-learn实现基于正规方程的闭式解线性回归

3.1 工具

使用scikit-learn的函数以及matplotlib和NumPy

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2)
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from lab_utils_multi import  load_house_data
import matplotlib.pyplot as plt
dlblue = '#0096ff'; dlorange = '#FF9300'; dldarkred='#C00000'; dlmagenta='#FF40FF'; dlpurple='#7030A0'; 
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

3.2 线性回归闭式解

Scikit-learn 有一个 线性回归模型，它实现了闭式线性回归。
让我们使用早期实验的数据 - 一个 1000 平方英尺的房子以 30 万美元的价格售出，一个 2000 平方英尺的房子以 50 万美元的价格售出。

房屋面积 (1000 平方英尺)	价格 (以千美元计)
1	300
2	500

3.2.1 加载数据集

X_train = np.array([1.0, 2.0])   # 特征
y_train = np.array([300, 500])   # 目标值

3.2.2 创建并拟合模型

下面的代码使用scikit-learn执行回归。

1. 创建一个回归对象。
2. 第二步使用与对象关联的方法 fit。这执行回归，将参数拟合到输入数据。工具包期望一个二维的 X 矩阵。

linear_model = LinearRegression()
# X 必须是一个 2-D 矩阵
linear_model.fit(X_train.reshape(-1, 1), y_train) 

输出结果：

3.2.3 查看参数

在scikit-learn中，$\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{b}$ 参数被称为 ‘系数’ 和 ‘截距’。

b = linear_model.intercept_
w = linear_model.coef_
print(f"w = {w:}, b = {b:0.2f}")
print(f"'手动' 预测: f_wb = wx+b : {1200*w + b}")

3.2.4 进行预测

调用 predict 函数生成预测。

y_pred = linear_model.predict(X_train.reshape(-1, 1))
print("训练集上的预测结果:", y_pred)
X_test = np.array([[1200]])
print(f"预测 1200 平方英尺房子的价格: ${linear_model.predict(X_test)[0]:0.2f}")

3.3 第二个例子

第二个例子来自一个早期的实验，该实验具有多个特征。最终的参数值和预测结果与该实验中未标准化的 ‘长期运行’ 结果非常接近。那次未标准化的运行花费了数小时才产生结果，而这个几乎是即时的。闭式解在像这样的小型数据集上工作得很好，但在大型数据集上可能会计算上要求较高。

闭式解不需要标准化

# 加载数据集
X_train, y_train = load_house_data()
X_features = ['size(sqft)','bedrooms','floors','age']
linear_model = LinearRegression()
linear_model.fit(X_train, y_train) 
b = linear_model.intercept_
w = linear_model.coef_
print(f"w = {w:}, b = {b:0.2f}")
print(f"训练集上的预测结果:\n {linear_model.predict(X_train)[:4]}" )
print(f"使用 w,b 的预测结果:\n {(X_train @ w + b)[:4]}")
print(f"目标值 \n {y_train[:4]}")
x_house = np.array([1200, 3,1, 40]).reshape(-1,4)
x_house_predict = linear_model.predict(x_house)[0]
print(f" 预测一个 1200 平方英尺，3 个卧室，1 层，40 年历史的房子的价格 = ${x_house_predict*1000:0.2f}")

输出结果：

3.4 总结

• 利用了一个开源的机器学习工具包，scikit-learn
• 使用该工具包实现了闭式解的线性回归