堆 (带图详解)

news2025/7/16 19:48:41

文章目录

  • 1.堆的基本概念
    • 1. 概念
    • 2.性质
      • 1.必须为完全二叉树
      • 2.满足大堆/小堆成立的条件
    • 3.存储方式
      • 1.逻辑结构
      • 2.物理结构
    • 4. 孩子与父亲之间下标的关系
  • 2.堆的基本实现
    • 1.push——插入
      • 1.代码
      • 2. 情况分析
        • 情况1
        • 情况2
      • 3. 向上调整算法
        • 1.过程分析
        • 2. 临界条件的判断
    • 2. pop—— 删除
      • 1.代码
      • 2. 向下调整算法
        • 1. 注意事项
        • 2. 临界条件
        • 3.TOPK问题
          • 1.过程分析
    • 3. create ——建堆
      • 1.向下调整算法的应用
    • 4. top—— 取堆顶元素
    • 5. size—— 数据个数
    • 6. empty ——判空
    • 7. TOPK问题的具体实现
  • 完整代码
      • 1.heap.h
      • 2.heap.c
      • 3.test.c

1.堆的基本概念

1. 概念

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： <= 且
<= ( >= 且 >= ) i = 0，1，
2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

2.性质

1.必须为完全二叉树

在这里插入图片描述

2.满足大堆/小堆成立的条件

在这里插入图片描述

  • 大堆：树中所有父亲节点都大于等于孩子节点

在这里插入图片描述

  • 小堆：树中所有父亲节点都小于等于孩子节点

3.存储方式

1.逻辑结构

在这里插入图片描述

  • 逻辑结构：我们想象出来的

2.物理结构

在这里插入图片描述

  • 物理结构：实实在在在内存是如何存储的

4. 孩子与父亲之间下标的关系

在这里插入图片描述

  • leftchild=parent*2+1

  • rightchild=parent*2+2

  • parent=(child-1)/2

这里child 可以是leftchild，也可以是rightchild，因为整数相除得到的结果也为整数

2.堆的基本实现

1.push——插入

1.代码

void adjustup(HPDatatype* a, int child)//向上调整算法
{
	int parent = (child - 1) / 2;
		while (child>0)
	{
		if (a[parent] >a[child])//以小堆为例
		{
		swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
        }
		else
		{
			break;
		}
	 }
}
void heappush(HP* php, HPDatatype x)//插入
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)//扩容
	{
		HPDatatype* ptr = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype)*php->capacity * 2);
		if (ptr != NULL)
		{
			php->a = ptr;
			php->capacity *= 2;
		}
	}
	php->a[php->size++] = x;//插入数据
	adjustup(php->a,php->size-1);  //向上调整

}

2. 情况分析

在这里插入图片描述

由图可知目前是一个小堆

情况1

  • 在数组后插入 >=56 的数 例如 100
    在这里插入图片描述

此时依旧为一个小堆，不需要调整，直接插入在数组尾部就可以了

情况2

  • 在数组后插入<56的数 例如 22
    在这里插入图片描述
  • 在圈中22比56小，所以不构成小堆，需要进行向上调整

3. 向上调整算法

1.过程分析

  • 这里以小堆为例

在这里插入图片描述

  • 我们要创建小堆，parent(56)>child(22)，所以要将两者值进行交换

在这里插入图片描述

  • 假设我们并不知道上面的数 例如10 与 新交换后的parent 22 的关系 所以我们需要向上调整

在这里插入图片描述

  • 即将 parent的下标赋给 child ，即22成为新的child下标对应位置，10成为parent下标对应位置 ，此时因为10<22，所以走break不需要调整

2. 临界条件的判断

在这里插入图片描述

  • 当child下标处于0时，parent下标已经越界没有比较的必要了，所以child>0
    就为临界条件

2. pop—— 删除

1.代码

void adjustdown(HPDatatype* a, int parent,int size)//向下调整算法
{
	int child = parent * 2 + 1;//假设为左孩子
	while (child<size)
	{
		if (child+1<size&&a[child] < a[child + 1])//如果假设不成立，就为右孩子
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] < a[child])//孩子大于父亲
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child=parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void heappop(HP* php)//删除
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	adjustdown(php->a,0,php->size);//向下调整算法
}

2. 向下调整算法

1. 注意事项

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

若右孩子所对应没有结点，a[child+1]就会越界访问，
所以需要加上限制条件： child+1<size

2. 临界条件

在这里插入图片描述

  • child作为下标存在，n为数据个数，child最多等于n-1

3.TOPK问题

  • N个数，找最大/最小的前k个

这里我们以大堆来举例 寻找最大的前k个
在这里插入图片描述

1.过程分析

在这里插入图片描述

  • 刚开始时，我们需要将首尾互换，并将此时的尾数据删除

在这里插入图片描述

  • 交换parent下标与child下标所对应的值，如图1 2
  • 并将child的下标赋给parent 如 图 2 3

3. create ——建堆

void heapcreate(HP* php, HPDatatype* a, int n)//建堆
{
	assert(php);
	php->a = (HPDatatype*)malloc(sizeof(HPDatatype) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("mealloc fail");
		exit(-1);
	}
	memcpy(php->a, a,  sizeof(HPDatatype) * n);
	int i = 0;
	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		adjustdown(php->a, i, n);
	}

}

1.向下调整算法的应用

在这里插入图片描述

我们想创建一个大堆，就必须使左子树是一个大堆及右子树是一个大堆
所以要从倒数第二层开始调整
在这里插入图片描述

4. top—— 取堆顶元素

HPDatatype heaptop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

5. size—— 数据个数

int heapsize(HP* php)//数据个数
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->size;
}

6. empty ——判空

bool heapempty(HP* php)//判断是否为空
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->size == 0;
}

7. TOPK问题的具体实现

#include "heap.h"
int main()
{
	HP php;
	heapinit(&php);
	int arr[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sz; i++)
	{
		heappush(&php, arr[i]);
	}
	print(&php);
	int k = 5;//取前5个数
	while (k--)
	{
		printf("%d ", heaptop(&php));
		heappop(&php);
	}
	heapdestroy(&php);
	return 0;
}

在这里插入图片描述

完整代码

1.heap.h

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int  HPDatatype;
typedef struct Heap
{
	HPDatatype* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
void heapcreate(HP* php, HPDatatype a, int size);
void heapinit(HP* php);//初始化
void heapdestroy(HP* php);//内存销毁
void heappush(HP* php,HPDatatype x);//插入
void heappop(HP* php);//删除
HPDatatype heaptop(HP* php);//堆顶数据
int heapsize(HP* php);//数据个数
bool heapempty(HP* php);//判断是否为空

2.heap.c

#include"heap.h"
//void heapcreate(HP* php, HPDatatype* a, int n)//建堆
//{
//	assert(php);
//	php->a = (HPDatatype*)malloc(sizeof(HPDatatype) * n);
//	if (php->a == NULL)
//	{
//		perror("mealloc fail");
//		exit(-1);
//	}
//	memcpy(php->a, a,  sizeof(HPDatatype) * n);
//	int i = 0;
//	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
//	{
//		adjustdown(php->a, i, n);
//	}
//
//}
void  heapinit(HP* php)//初始化
{
	assert(php);
	php->a = (HP*)malloc(sizeof(php) *4);
	php->size = 0;
	php->capacity = 4;
}

void heapdestroy(HP* php)//内存销毁
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
void swap(HPDatatype* s1, HPDatatype* s2)
{
	int tmp = 0;
	tmp = *s1;
	*s1 = *s2;
	*s2 = tmp;
}
//void adjustup(HPDatatype* a, int child)//向上调整算法
//{
//	int parent = (child - 1) / 2;
//	while (child>0)
//	{
//		if (a[parent] >a[child])//以小堆为例
//		{
//			swap(&a[parent], &a[child]);
//			child = parent;
//			parent = (child - 1) / 2;
//	    }
//		else
//		{
//			break;
//		}
//	}
//}
void adjustup(HPDatatype* a, int child)//向上调整算法
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] < a[child])//以大堆为例
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void heappush(HP* php, HPDatatype x)//插入
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)//扩容
	{
		HPDatatype* ptr = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype)*php->capacity * 2);
		if (ptr != NULL)
		{
			php->a = ptr;
			php->capacity *= 2;
		}
	}
	php->a[php->size++] = x;//插入数据
	adjustup(php->a,php->size-1);  //向上调整

}
void adjustdown(HPDatatype* a, int parent,int size)//向下调整算法
{
	int child = parent * 2 + 1;//假设为左孩子
	while (child<size)
	{
		if (child+1<size&&a[child] < a[child + 1])//如果假设不成立，就为右孩子
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] < a[child])//孩子大于父亲
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child=parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void heappop(HP* php)//删除
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	adjustdown(php->a,0,php->size);//向下调整算法
}
HPDatatype heaptop(HP* php)//取堆顶元素
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

void print(HP* php)
{
	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
bool heapempty(HP* php)//判断是否为空
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->size == 0;
}

int heapsize(HP* php)//数据个数
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->size;
}

#include "heap.h"
int main()
{
	HP php;
	heapinit(&php);
	int arr[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sz; i++)
	{
		heappush(&php, arr[i]);
	}
	print(&php);
	int k = 5;
	while (k--)
	{
		printf("%d ", heaptop(&php));
		heappop(&php);
	}
	heapdestroy(&php);
	return 0;
}

3.test.c

#include "heap.h"
int main()
{
	HP php;
	heapinit(&php);
	int arr[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sz; i++)
	{
		heappush(&php, arr[i]);
	}
	print(&php);
	int k = 5;
	while (k--)
	{
		printf("%d ", heaptop(&php));
		heappop(&php);
	}
	heapdestroy(&php);
	return 0;
}

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