一、Graph as Matrix

本小节将从矩阵的角度研究图形分析和学习。

把一个图当作一个矩阵来处理，我们可以：

• 通过random walk确定节点的重要性(PageRank)
• 通过矩阵分解(matrix factorization ，MF)获得节点嵌入
• 将node embeddings (例如Node2Vec)视为MF
• random walk、MF和node embeddings是密切相关的!

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二、PageRank

我们可以将网页看一个图：

• 节点：网页
• 边：超链接
  

我们将图看作是一个有有向图,超链接的指向构成边的方向:

其他类似的：
论文之间的应用、百科全书之间的引用关系也可以类似的组织成一张有向图：

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在Web graph中，并非所有网页(节点)都是同样“重要”，所有想要对Web graph中的网页按照重要性进行排序；有以下三种方法可以实现：

• PageRank
• Personalized PageRank (PPR)
• Random Walk with Restarts

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$PageRank$：

两个重要的思想：

• 如果页面有更多的链接，它就更重要

  • 选择出链还是入链作为衡量呢？
    因为出链可以自己去构建，所以很容易去造假；而入链不容易造假，所以选择入链会比较靠谱；
    可以把入链想象成投票(vote)，别人给你投的票越多你就会越重要。

• 来自重要页面的链接更重要

  • 大人物给你投的票会更重要些
  • 因此：
    • 每个链接的投票与其源页面的重要性成正比
    • 如果重要性$r_i$的页面$i$有$d_i$个出链接，每个链接得到$r_i/d_i$票
    • 页面$j$本身的重要性$r_j$是对其链接的投票总和
      

可以观察到，上面的问题是一个递归的问题。

对节点$j$定义$rank$：
$$r_j=\sum _{i\to j}\frac{r_i}{d_i}\text{\hspace{1em}(1)}$$

• $d_i$：节点$i$的出链数
• 节点$i$至少有一条出链指向节点$j$

例子：

你可能会想:让我们用高斯消去法来解这个线性方程组。坏主意!因为这样的做法并具备可扩展性。

下面介绍该线性方程组的另一种解法。

首先我们引入随机邻接矩阵(Stochastic adjacency matrix) $M$：

• $d_i$表示节点$i$的出度
• 如果$i$到$j$有一条边，那么$M_{ji}=\frac{1}{d_i}$；否则为0。
  • $M$中每列的和都是1

这个$M$其实就是一个概率转移矩阵，$M_{ji}$表示从$i$节点出发有$M_{ji}$的几率去到$j$节点。

引入Rank vector $r$：

• 一个列向量，第i个元素表示第i个网页的rank值，即第i个网页的重要性。
• ${\sum }_i{r}_i=1$

对rank的定义公式$(1)$，其向量化可写成：
$$r_j=\sum _{i\to j}\frac{r_i}{d_i}\Rightarrow r=M\cdot r$$

例子：

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让我们将Page Rank与Random Walk联系起来：

想象一个随机的网上冲浪者：

• 在某个时间$t$，冲浪者在网页$i$上
• 在时间$t+1$，冲浪者会均匀随机地点击$i$的出链接，去到下一个网页。即从网页$i$中的某个链接去到某个页面$j$
• 过程无限重复，即这个冲浪者一直在浏览网页。

引入$p(t)$：

• 一个列向量，表示在$t$时间，第$i$个元素表示冲浪者处于第$i$个网页的概率。
• 所以，$p(t)$是网页的概率分布

如何计算$t+1$时刻的网页概率分布呢？

以上图为例子，下一时刻处于网页j的概率=处于网页$i_1$的概率$\times$从网页$i_1$跳到网页j的概率+处于网页$i_2$的概率$\times$从网页$i_2$跳到网页j的概率+处于网页$i_3$的概率$\times$从网页$i_3$跳到网页j的概率。

可以得到下一时刻网页概率分布的向量化公式：
$$p(t+1)=M\cdot p(t)$$

若经过一段时间后，有：
$$p(t+1)=M\cdot p(t)=p(t)$$

则$p(t)$是random walk的平稳分布(stationary distribution)。

该公式与之间的$r=M\cdot r$类似，所以可以称$r$是random walk的平稳分布(stationary distribution)。

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让我们将Page Rank与特征向量联系起来：

让我们回忆之前学过的Engienvector centrality

而式$(1)$可以写成：
$$1\cdot r=M\cdot r$$

• 所以rank向量$r$是随机邻接矩阵$M$特征值为$1$的特征向量
• 从任意节点$u$开始，$M(M(\cdots M(Mu)))$是网页的长期概率分布，即无论从哪个点开始开始冲浪，$r$都会收敛到同一个相同的结果。
  • PageRank =极限分布= M的特征向量

因此我们能找到求解$r$的方法：$Poweriteration$

之前写的关于Page Rank的一个博客

三、PageRank：How to solve？

$Poweriteration$流程：

• 初始化：$r^{(0)}=[1/N,\cdots ,1/N{]}^T$
  一开始，各网页的重要性都是一样的。
• 迭代：$r^{(t+1)}=M\cdot r^{(t)}$
• 当$|r^{(t+1)}-r^{(t)}{|}_1<\epsilon$时停止迭代
  这里$|x{|}_1={\sum }_1^N|x_i|$表示第一范式，也可以使用其他的范式

大概迭代50次就可以得到一个收敛的$r$。

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PageRnak存在的三个问题：

• 能否收敛？
• 它会收敛到我们想要的吗?
• 结果合理吗?

下面介绍$deadends$和$Spidertraps$来探讨上面的三个问句。

$deadends$：
即页面中存在没有出链的节点，这样的页面会导致重要性“leak out”(泄漏)。

$Spidertraps$：
即所有出链都在一个组内，最后这个组会“吸收”所有的重要性。

例子1：能否收敛？
The “Spider trap” problem:

入下图，b节点的出链指向了自己；根据迭代公式，a节点会向b节点投票，而b节点也会向自己投票，而a没有节点向它投票。在多次迭代后，票都会向b节点汇聚，最后$r=[0,1{]}^T$，从而a节点重要性为0，b节点重要性为1.

会发现无论迭代多少次，重要性都会在这个圈子里打转，导致random surfer会在圈子里打转，出不去。

例子2：它会收敛到我们想要的吗?
The “Dead end” problem:

b节点不存在出链。相当于a把票投给了b，而b不把票投给任何人，票就像投入了一个黑洞，最后导致所有节点的重要性都归为了0。

然而这个收敛的结果并不是我们想要的。

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解决Spider trap方案：

思想：
random surfer会在圈打转，那么打破这个圈就行了

所以在每个时间步，random surfer有两个选项：

• 以概率$\beta$，沿着出链浏览网站
• 以概率$1-\beta$，跳到一个随机的网站

一般$\beta$会被设置为0.8-0.9的一个数。

所以，冲浪者将在几个时间步骤内传送出Spider trap。

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解决Dead end的方案：Teleports

思想：
Dead end即死胡同，那我们把死胡同做活就行了。

所以Dead end节点以总概率1.0随机传送到其他节点。

例子：
如下图，m节点是一个死胡同，那么将其做活：
m会等1/N的概率跳转到其他的节点，即走出了死胡同。

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为什么Dead end和Spider trap是一个问题，为什么Teleports可以解决这个问题?

• Spider trap不是问题，但对于PageRank分数不是我们想要的

  • 解决方案：
    千万不要被困在Spider trap里，在有限的步骤内瞬间移动出来

• Dead-ends是个问题，因为矩阵不是列随机的(列和不为1)，所以我们最初的假设不满足。

  • 解决方案：
    当无处可去时，总是传送，使矩阵列随机

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综上，PageRank等式更新为：

公式解释：
$r_j$表示浏览网页$j$的概率。
其概率等于：

• 从$r_i$以概率$1/d_i$跳转过来，但有$\beta$的概率会按出链走
• 还有可能是某个节点以$1-\beta$的概率随机跳转到其他节点，并以$1/N$的概率跳转到网页$j$

向量化表示：

$$G=\beta M+(1-\beta {\left[\frac{1}{N}\right]}_{N\times N})$$

变成递归的问题:$r=G\cdot r$，然后使用Power iteration的方法去求解$r$。

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PageRank案例：

看上图，不存在重要性为0的节点，不重要的节点会赋值为较小的值，入1.6.

$B$和$E$的入链数相同，但是$E$的入链来自于一些不重要的节点，所以rank值低一些，而$B$的入链来自于一些较重要的节点，所以rank值较大。

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四、Random Walk with Restarts and Personalized PageRank

以一个推荐问题为例：

下图表示用户和物品交互(如购买)的bipartite graph：

• 我们应该向与物品Q交互的用户推荐什么物品?
• 直觉:如果物品Q和P有相似的用户交互，当用户与Q交互时，推荐P。

因此，我们的目标是在图中找到与$Q$有相似交互的节点$P$。

如何评估相似性呢？
如下图，A '和A、B,B '哪个更相近呢?

可以使用最短路径来评估节点的相似性，如下图；可以判断A和A’是更相似的。

但对于下图，A,A’与C,C’都有着相同的最短路径，因此很难评估哪个更相似了。
但直觉上，C和C’是更相似，因为C和C’有更多的共同邻居。

所以能否使用共同邻接的数量作为相似性的评估呢？
看下图；D,D’之间有着和C,C’一样数量的共同邻居，但D,D’之间的共同用户之间的相似性却很低。

那该如何衡量两个节点之间的相似性呢？

可以使用Random Walks with Restarts

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先介绍三个概念：

• PageRank：
  • 根据“重要性”对节点进行排名
  • 以均匀概率传送到网络中的任何节点
• Personalized PageRank:
  • 根据顶点与转移顶点(teleport nodes)集S中节点的相似性进行排序
• Random Walks with Restarts：
  • 根据顶点与给定节点Q的相似性进行排序
  • 可以看作是Personalized PageRank的特例，转移顶点集S中只包含一个顶点。

什么是转移顶点集？

• 在标准的RandWalk中，每个节点会以(1-β)的概率转移到图中的任何一个节点，这里的转移顶点集是图中的所有顶点。

• 在Personalized PageRank中，每个节点会以(1-β)的概率转移到给定的转移顶点集S，这里的转移顶点集是图的一个子集。

• 在Random Walks with Restarts，转移顶点集缩小为一个给定的节点Q，每个节点会以(1-β)的概率转移到节点Q。只有一个顶点，所有每次随机游走都会有一定的概率回到原点，这也是名字中restars的含义。

• 在Personalized PageRank和Random Walks with Restarts中，转移节点是一个查询顶点集，即希望找出与转移节点集相似的顶点。

具体步骤：

• 给定一组QUERY_NODES，我们模拟随机游走；
• 随机向一个邻居迈出一步并记录访问次数(visit count)
• 在概率为ALPHA的情况下，会转移到QUERY_NODES中的其中一个节点，重新启动游走
• 访问计数最高的节点与QUERY_NODES的接近度最高

大概意思就是，先从QUERY_NODES中的一个节点开始随机游走，每游走到一个节点，就给这个节点的计数器+1。游走的过程中会有一定概率回到QUERY_NODES，重新开始游走。
最后，与QUERY_NODES相似的节点游走过程中经过的次数是最多的，即计数器的值较大。

算法流程图：

假设访问结果如下；可以评估绿色节点与Q节点相似度较大，而红色节点与Q相似性较小。

为什么这是个好的解决方案呢？
因为“相似性”考虑到了:

• Multiple connections
• Multiple paths
• Direct and indirect connections
• Degree of the node

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五、Matrix Factorization and Node Embedding

在Node Embedding中，我们将节点的embedding组织成一个$d\times N$的矩阵$Z$，如下图：

优化$Z$的方式：
对于相似的节点对(u,v)最大化$z_v^T{z}_u$。

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接下来将上述内容与矩阵分解联系起来。

我们先定义一个最简单的相似度指标：

• 如果节点u和v由一条边连接，则它们是相似的。
• 即$z_v^T{z}_u=A_{u,v}$；$A_{u,v}$是图邻接矩阵$A$的第u行，第v列元素
• 向量化表示：$Z^{T}Z=A$

因此$Z$可以看作是$A$矩阵分解的结果。

• 嵌入维d (Z中的行数)比节点数n小得多。
• 所以，精确的因式分解$A=Z^{T}Z$通常是不可能的。【肯定要丢失一些信息】
• 但是，我们可以近似地学习Z
• 目标：$\underset{Z}{\min }||A-Z^{T}Z|{|}_2$
  • 优化Z的过程即优化上面的第二范式
  • 在之前的的课程，使用的是softmax函数来代替L2范式，都是学习Z去近似A
• 结论：
  由边连通性定义节点相似度的内积译码器，等价于A的矩阵分解

将上述结论进行扩展，DeepWalk和node2vec是基于random walk衡量节点相似度的更复杂的方式，因此Z可以表示为更复杂的矩阵的分解。

• DeepWalk相当于将以下复矩阵表达式进行矩阵分解:
  

• Node2vec也可以表述为矩阵分解(尽管是一个更复杂的矩阵)

  • 感兴趣的看论文：
    Network Embedding as Matrix Factorization: Unifying DeepWalk, LINE, PTE, and node2vec, WSDM 18

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基于矩阵分解和随机游走的节点嵌入的局限性：

• 限制一：不适用于动态的使用场景，若添加了训练集以外的节点，就要从头开始。
  

• 限制二：无法捕捉结构相似性：
  如下图，{1、2、3}和{11、12、13}在结构上很相似，但deepWalk和Node2vec会赋予1和11很不一样的embedding，因为它们的邻居很不同。
  
  当然，可以通过匿名路径来忽略节点的身份，从而学习到结构相似性。
  所以DeepWalk和node2vec不能捕获结构相似性。匿名路径可以学习到结构相似性

• 限制三：不能利用节点、边和图特征。
  

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解决这些限制的方法:深度表示学习和图神经网络。

将在下一章进行讲解