任务描述

本关任务：编写一个利用局部加权计算回归系数的小程序。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：1.局部加权算法的思想；2.局部加权的核心算法。

局部加权算法的思想

在局部加权算法中 ，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重；然后与前面的类似，在这个子集上基于最小均方差来进行普通的回归。与kNN一样，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。 该算法解出回归系数w的形式如下：

其中w是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重。

局部加权的核心算法

1. def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
2. xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
3. m = np.shape(xMat)[0]
4. weights = np.mat(np.eye((m)))
5. for j in range(m): #next 2 lines create weights matrix
6. diffMat = testPoint - xMat[j,:] #difference matrix
7. weights[j,j] = np.exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2)) #weighted matrix
8. xTx = xMat.T * (weights * xMat)
9. if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
10. print ("This matrix is singular, cannot do inverse")
11. return
12. ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) #normal equation
13. return testPoint * w

编程要求

根据提示，在右侧编辑器补充代码，利用局部加权计算回归系数。

测试说明

根据所学完成右侧编程题。

from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 加载数据
def loadDataSet(fileName):
    """
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    """
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = []; yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr

# 使用局部加权线性回归计算回归系数w
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):
    """
    Parameters:
        testPoint - 测试样本点
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
        k - 高斯核的k,自定义参数
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    m = np.shape(xMat)[0]
    weights = np.mat(np.eye((m)))                                   #创建权重对角矩阵
    for j in range(m):                                              #遍历数据集计算每个样本的权重
        ##########
        diffMat = testPoint - xMat[j,:]   #difference matrix
        weights[j,j] = np.exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))   #weighted matrix
        ##########
    xTx = xMat.T * (weights * xMat)
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))                        #计算回归系数
    return testPoint * ws

# 局部加权线性回归测试
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0):
    """
    Parameters:
        testArr - 测试数据集,测试集
        xArr - x数据集,训练集
        yArr - y数据集,训练集
        k - 高斯核的k,自定义参数
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    m = np.shape(testArr)[0]                                       #计算测试数据集大小
    yHat = np.zeros(m)
    for i in range(m):                                             #对每个样本点进行预测
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):
    """
    Parameters:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    xTx = xMat.T * xMat                                         #根据文中推导的公示计算回归系数
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws


def rssError(yArr, yHatArr):
    """
    误差大小评价函数
    Parameters:
        yArr - 真实数据
        yHatArr - 预测数据
    Returns:
        误差大小
    """
    return ((yArr - yHatArr) **2).sum()


if __name__ == '__main__':
    abX, abY = loadDataSet('./机器学习第8章/abalone.txt')
    print('训练集与测试集相同:局部加权线性回归,核k的大小对预测的影响:')
    yHat01 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)
    yHat1 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 1)
    yHat10 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 10)
    print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat01.T))
    print('k=1  时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat1.T))
    print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat10.T))
    print('')
    print('训练集与测试集不同:局部加权线性回归,核k的大小是越小越好吗？更换数据集,测试结果如下:')
    yHat01 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)
    yHat1 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 1)
    yHat10 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 10)
    print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat01.T))
    print('k=1  时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat1.T))
    print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat10.T))
    print('')
    print('训练集与测试集不同:简单的线性归回与k=1时的局部加权线性回归对比:')
    print('k=1时,误差大小为:', rssError(abY[100:199], yHat1.T))
    ws = standRegres(abX[0:99], abY[0:99])
    yHat = np.mat(abX[100:199]) * ws
    print('简单的线性回归误差大小:', rssError(abY[100:199], yHat.T.A))