1. 树形结构
1.1 概念1 (了解)
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意:在子树之间不可以有交集,否者就不是树形结构.
1.2 概念2 (重点)
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度,如b的度为2.
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度,如上面这棵树的度为2.
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点,如上图中d,g,h,i都是叶子结点.
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点,如g的父结点是e.
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点,如b的子节点是d,e.
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点,如上面这棵树的根节点是a.
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推.
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次,如上面这棵树的深度是4.
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点,如g的兄弟结点是h
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟,如e是f的堂兄弟结点.
1.3 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。下图中,c代表child,b代表brother.
1.4 树的应用
- 文件管理系统,如Linux操作系统的目录
2. 二叉树(重点)
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出： - 二叉树不存在度大于2的结点.
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树.
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
- 满二叉树:
一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2k-1，则它就是满二叉树。 - 完全二叉树:
通过层序遍历的方法,==从上到下,从左到右,依次存储结点,==中间不可以有断开.
[注] 满二叉树是一棵特殊的完全二叉树.
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1(i>0)个结点.
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2k-1 (k>=0).
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1.(做题经常用)
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)向上取整.
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4 二叉树的存储
在这里,我们使用类似与链表的链式存储.
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有**二叉(找不到父节点,类似与单向列表)和三叉(可以找到父节点,类似与双向链表)**表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的父节点
}
2.5 二叉树的基本操作
前置说明:我们这里使用非常简单的方法来创建一棵二叉树,此二叉树是孩子表示法,其实真正创建二叉树的方法不是这样的,我们后边介绍.我们创建下面这棵二叉树:
2.5.1 二叉树的遍历
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
- 层序遍历: 从上到下,从左到右,依次遍历.
public class BinaryTree {
static class Node{
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
}
public int treeSize;
/**
* 创建一棵默认的树
* @return
*/
public Node createTree(){//注意:真正创建二叉树的方法不是这这样的,我们后面介绍
Node a = new Node(1);
Node b = new Node(2);
Node c = new Node(3);
Node d = new Node(4);
Node e = new Node(5);
Node f = new Node(6);
Node g = new Node(7);
a.left = b;
a.right = c;
b.left = d;
c.left = e;
c.right = f;
d.left = g;
return a;
}
/**
* 前序遍历
* @param root
*/
public void preOrder(Node root){
if (root == null){
return;
}
System.out.print(root.value+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/**
* 中序遍历
* @param root
*/
public void inOrder(Node root){
if (root == null){
return;
}
preOrder(root.left);
System.out.print(root.value+" ");
preOrder(root.right);
}
/**
* 后序遍历
* @param root
*/
public void postOrder(Node root){
if (root == null){
return;
}
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
System.out.print(root.value+" ");
}
/**
* 计算树的大小
* @param root
* @return
*/
public int size(Node root) {
if (root == null){
return 0;
}
treeSize++;
size(root.left);
size(root.right);
return treeSize;
}
/**
* 获取树叶子结点的个数
* @param root
* @return
*/
public int getLeafNodeCount(Node root) {
if (root == null){
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null){
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
}
/**
* 获取该树的第k层有几个结点
* @param root
* @param k
* @return
*/
public int getKLevelNodeCount(Node root, int k) {
if (root == null){
return 0;
}
if (k == 1){
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)
+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);//每递归一层,k-1
//相对与根节点,第三层就是第三层,相对第二层,第三层是第二层,以此类推...
}
/**
* 获取树的高度,取左子树和右子树的最大值+1(加上根节点所在的层)
* @param root
* @return
*/
public int getHeight(Node root) {
if (root == null){
return 0;
}
return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
}
/**
* 在树中寻找val值是否存在
* @param root
* @param val
* @return
*/
public Node find(Node root, int val) {
if (root == null){
return null;
}
if (root.value == val){
return root;
}
Node leftNode = find(root.left,val);
if (leftNode != null){//写成判断地址的形,如果写成值的形式,可能会报空指针异常
return leftNode;//如果从左树中找到,直接返回,就不用遍历右树,以此来减小时间复杂度
}
Node rightNode = find(root.right,val);
if (rightNode != null){
return rightNode;
}
return null;//递归到底了,说明没找到,返回null
}
/*
层序遍历和判断是否为完全二叉树比较复杂,我们后续介绍
*/
}
开始测试:
public class Test {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
BinaryTree.Node root = binaryTree.createTree();
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
System.out.println(binaryTree.size(root));
System.out.println(binaryTree.getLeafNodeCount(root));
System.out.println(binaryTree.getKLevelNodeCount(root,4));
System.out.println(binaryTree.getHeight(root));
System.out.println(binaryTree.find(root,7));
System.out.println(binaryTree.find(root,8));
}
}
测试结果:
