以下内容有任何不理解可以翻看我之前的博客哦：吴恩达deeplearning.ai

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在上一篇博客中我们了解了有关softmax的原理相关内容，今天我们主要聚焦于如何修改之前的神经网络，从而搭建能够实现多分类问题的神经网络。

softmax作为输出层的神经网络

相比之前的二分类逻辑回归神经网络，我们主要的改变是将输出层替换为了具有十个神经元的，激活函数为softmax的输出层。整个神经网络的运行流程是接收特征输入X，并且传入隐藏层，两个隐藏层的激活函数均采用的是relu函数；再传入最终输出层，最终的输出$a^{[3]}$是一个包含十个概率值的矩阵。
我们再回顾下softmax的公式(这里仅以a1为例）：
$$\begin{gathered} z_1=\overrightarrow{w_1}\cdot \vec{x}+b_1 \\ {a}_1=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}+e^{z_4}} \end{gathered}$$
此外提一个定义，softmax层有时也被叫做softmax函数。与其它的激活函数相比不同的是，softmax中$a_1$仅仅和$z_1$有关，$a_2$仅仅和$z_2$有关，而不像其它的激活函数最终的某个输出a和多个z有关。
让我们看看如何用代码实现这个神经网络

Tensorflow的实现

第一步，构建神经网络的结构框架：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
model = Sequential([
  Dense(units=25, activation='relu')
  Dense(units=15, activation='relu')
  Dense(units=10, activation='softmax')
  ])

第二步，定义损失函数和价值函数

from tensorflow.keras.losses import
SparseCategoricalCrossentropy
model.compile(loss=SparseCategoricalCrossentropy())

这里出现了一个新的函数SparseCategoricalCrossentropy()，翻译成中文叫做稀疏分类交叉熵，名字超长，甚至超过了当初的二元交叉熵。稀疏（Sparse）的意思是值只能取1~10中的一个；分类（Categorical)指的是你仍然将y分类。
第三步，训练模型，预测代码和以前一样：

model.fit(X, Y, epochs=100)

以上代码是可以起作用的，符合我们之前的认知，但是还不够优化，在tensorflow中有更好的代码版本。下面我们看看如何优化softmax代码。

softmax的改进实现

数值舍入误差(Numerical Roundoff Errors)

让我先展示下在计算机设置数值的两种不同方法：
第一种，简单粗暴法：
$$x=\frac{2}{10,000}$$
第二种，加加减减法：
$$x=(1+\frac{1}{10,000})-(1-\frac{1}{10,000})$$
虽然看上去相同，但是精确度是由差别的：

我们对softmax的改进，也主要聚焦在精确度上面，让我介绍一种更加精确的方法。

sigmoid修改

在逻辑回归中，我们的公式是这样的：
$$\begin{gathered} a=g(z)=\frac{1}{1+e^{-}z} \\ loss=-yloga-(1-y)log(1-a) \end{gathered}$$
它的代码是：

model = Sequential([
  Dense(units=25, activation='relu')
  Dense(units=15, activation='relu')
  Dense(units=10, activation='sigmoid')
  ])
model.compile(loss=BinaryCrossEntropy())

如果我们要求tensorflow按照这个步骤，一步步算出a，然后带入到loss之中，那么结果就会如同上面的第二种方法一样产生误差，因为其进行了两步运算。但是tensorflow提供了另一种方法，大致意思就是我们先使用线性激活函数（也可以理解为没使用激活函数），最后在计算损失的时候再指定激活函数为sigmoid。如果我们使用了这个命令，这会为tensorflow提供更高的灵活性，从而可以减少误差，就如同上面的方法一；代码如下：

model = Sequential([
  Dense(units=25, activation='relu')
  Dense(units=15, activation='relu')
  Dense(units=10, activation='linear')
  ])
model.compile(loss=BinaryCrossEntropy(from_logits=True))

通俗点说from_ligits=True告诉了激活函数inaryCrossEntropy我没有用激活函数哦，所以你计算损失时内部记得调用下sigmoid哈。这里的logits可以理解为没有经过激活函数的z。

修改softmax

同样地，我们再看看稀疏分类交叉熵的损失函数，我就写出其中的一项：
$$Loss=-logaify=1$$

由于在多分类问题之中，分类的选项很多，而各个选项的概率和是一定的为1，因此很多情况下正确的那个选项的概率依然很小，由于使用了log函数，在x接近于0的时候这个值会非常大，那么产生的误差也就会很大，而二分类问题由于选项仅有两个，因此这个问题不是很明显，便没在讲二分类的时候也进行这种优化。
一样地，我们代码也可以修改为：

model = Sequential([
  Dense(units=25, activation='relu')
  Dense(units=15, activation='relu')
  Dense(units=10, activation='linear')
  ])
  from tensorflow.keras.losses import
SparseCategoricalCrossentropy
model.compile(loss=SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True))

另外需要修改的地方是，我们在预测时，model（x）不再是概率a了，而是没经过激活函数的z，因此代码在最后需要添加：

model.fit(X, Y, epochs=100)
logits = model(X)
f_x = tf.nn.softmax(logits)

从而再加入了softmax，出来的才是0~1之间的概率a。
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