2. 简单应力状态下的应力应变关系

我们在高中就学过，弹簧拉伸力和变形量成比例，对于一般的金属材料，在一定载荷以内这种结论也是成立的，这种情况称之为弹性。在下面的材料力学单向拉伸试验的结果中，我们可以看到材料先发生弹性变形，超过一定极限后产生塑性变形。

2.1 简单拉伸的应力应变关系

材料拉伸试样如下图1所示，在试验时在试样两端夹持，施加载荷，试验在载荷作用下会伸长，记录相应时刻的载荷-位移数据，并以此绘制曲线如下图2所示。

$$图1拉伸试样$$

$$图2载荷-变形曲线$$
但一般会进行以下变换
$$\sigma =\frac{F}{A_0},\epsilon =\frac{\Delta }{l_0}\text{\hspace{1em}(1)}$$
那么可以将载荷-变形曲线变换成$\sigma -\epsilon$应力应变曲线，如下图3。

$$图3\sigma -\epsilon 曲线$$
其中A点称为上屈服点，B为下屈服点，材料在两者之间呈现流动状态，应力不发生显著变化只增加应变，一般上屈服点和下屈服点区别不大（此屈服流动的现象一般在低碳钢中存在，合金钢等往往没有明显的特征），用${\sigma }_s$来代替，称材料的屈服强度。材料在${\sigma }_s$以下呈现弹性变形，也就是载荷去除之后变形能够完全恢复，且应力和应变成比例。同时，金属材料压缩的应力应变曲线基本上与拉伸的应力应变曲线接近。

有一些金属可能没有上下屈服流动阶段，如下图4。

在应力超过弹性极限后，会产生塑性应变${\epsilon }^p$，缓慢卸去载荷，变形也不能完全恢复（见图4中${\epsilon }^p$），这种现象成为屈服。同时卸载曲线也是线性的，并且斜率和刚开始的弹性段一样，直到反向屈服。

图4中A’为材料的压缩屈服点，假设A与A’对称（即压缩屈服等于拉伸屈服），左图为多晶材料，多晶材料反向屈服点M’一般绝对值小于A’，称为包晶格效应（Bauschingerx effect），即在拉伸方向的强化导致压缩方向的弱化，这种效应在后文中还会应用（就是随动强化模型）。

右图为单晶材料，材料反向屈服点M’一般绝对值大于A’，即在拉伸方向的强化导致压缩方向的同样的强化，这种效应在后文中还会应用（就是等向强化模型）。

$$图4加载/卸载应力应变曲线$$

2.2 真实应力应变关系

在图3中，在应力达到最高点C以前，应力和应变一同增加，到达C点后应变增加，应力却下降了。事实上，在C点前由于泊松比的存在，变形前试样的截面随着载荷增加，会慢慢减小，但是在随着变形的继续，某一时刻横截面会较迅速的减小，这种现象称为颈缩（也称塑性失稳），由于截面的迅速缩小，试样的承载能力随之下降，相应的名义应力也下降。因此实际上，名义应力在变形量小的时候跟试样的真实应力差别不大，但是在颈缩时，名义应力和真实应力较大差别。

按照定义，定义真实应力$\tilde{\sigma }$如下
$$\tilde{\sigma }=\frac{P}{A}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$A$为试样瞬时截面，$P$为试样瞬时载荷。

瞬时的应变增量$d\tilde{\epsilon }$如下所示
$$d\tilde{\epsilon }=\frac{d{l}^{\prime }}{l^{\prime }}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$l^{\prime }$为试样瞬时长度，$d{l}^{\prime }$为试样瞬时伸长量。

那么真实应变$\tilde{\epsilon }$为
$$\tilde{\epsilon }={\int }_{l_0}^l\frac{d{l}^{\prime }}{l^{\prime }}=\ln (l^{\prime }){|}_{l_0}^l=\ln (\frac{l}{l_0})=\ln (\frac{l-l_0+l_0}{l_0})=\ln (1+\epsilon )\text{\hspace{1em}(4)}$$

在材料进入塑性阶段，材料表现出塑性流动的特征，这里需要引用材料几乎不可压缩的假设，因此有

$$A_0{l}_0=Al\text{\hspace{1em}(5)}$$

那么真实应力变$\tilde{\sigma }$为
$$\tilde{\sigma }=\frac{P}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{A_0}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{l}{l_0}=\sigma e^{\tilde{\epsilon }}=\sigma (1+\epsilon )\text{\hspace{1em}(6)}$$

在图5右侧曲线中C为名义应力达到最大值，在此时，有
$$\frac{d\sigma }{d\epsilon }=0\text{\hspace{1em}(7)}$$

在图5右侧曲线中C为名义应力达到最大值对应的真实应力点C’’，其中真实应力有式（6），那么有
$$\frac{d\tilde{\sigma }}{d\epsilon }=\sigma \text{\hspace{1em}(8)}$$

在图5左侧曲线中C为名义应力达到最大值对应的真实应力点C’，真实应力和真实应变应满足的条件如下
$$\frac{d\tilde{\sigma }}{d\tilde{\epsilon }}=(\frac{d\sigma }{d\epsilon }\cdot \frac{d\epsilon }{d\tilde{\epsilon }})e^{\tilde{\epsilon }}+\sigma e^{\tilde{\epsilon }}=\sigma e^{\tilde{\epsilon }}=\tilde{\sigma }\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$图5应力应变曲线$$

2.3 应力-应变关系简化模型

在理论分析中，常常采用简化的应力应变模型来分析具体问题（实际工程中也多有应用）。

简化模型一：理想弹塑性模型

如下图6所示，那么应力应变关系可以写为
$$\sigma =\{\begin{array}{ll}E\epsilon & ,\epsilon \le {\epsilon }_s\\ {\sigma }_{s}sign\epsilon & ,\epsilon >{\epsilon }_s\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

$$图6理想弹塑性模型$$

简化模型二：线性强化弹塑性模型

如下图7所示，那么应力应变关系可以写为

$$\sigma =\{\begin{array}{ll}E\epsilon & ,\epsilon \le {\epsilon }_s\\ {\sigma }_s+E’(\epsilon -{\epsilon }_s)& ,\epsilon >{\epsilon }_s\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

$$图7线性强化弹塑性模型$$

当然，上式当进入塑性后，还可以写成另外一种形式，如下所示
$$\epsilon ={\epsilon }^e+{\epsilon }^p\text{\hspace{1em}(12)}$$
$$\sigma ={\sigma }_s+h{\epsilon }^p\text{\hspace{1em}(13)}$$
可以通过下图来确定h，下图为应力-塑性应变图，由图7可知
$$E^{\prime }=\frac{d\sigma }{d\epsilon }\text{\hspace{1em}(14)}$$
同时由图8可知
$$h=\frac{d\sigma }{d{\epsilon }^p}=\frac{d\sigma }{d\epsilon -d{\epsilon }^e}=\frac{1}{\frac{d\epsilon }{d\sigma }-\frac{d{\epsilon }^e}{d\sigma }}=\frac{1}{\frac{1}{E^{\prime }}-\frac{1}{E}}\text{\hspace{1em}(15)}$$
代入（13），那么有
$${\epsilon }^p=\frac{\sigma -{\sigma }_s}{h}=(\sigma -{\sigma }_s)(\frac{1}{E^{\prime }}-\frac{1}{E})$$
那么相应的式(11)可以改写为
$$\epsilon ={\epsilon }^e+{\epsilon }^p=\frac{\sigma }{E}+(\sigma -{\sigma }_s)(\frac{1}{E^{\prime }}-\frac{1}{E})\text{\hspace{1em}(16)}$$

同时，有
$$0<\frac{1}{h}=\frac{1}{E^{\prime }}-\frac{1}{E}<\frac{1}{E^{\prime }}\text{\hspace{1em}(17)}$$
那么有以下结论，
$$h>E^{\prime }\text{\hspace{1em}(18)}$$
而其物理意义如下图

$$图8h的物理意义（在\sigma -{\epsilon }^p图中）$$