🌈欢迎来到数据结构专栏~~AVL树详解

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一. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称 平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 平衡因子= 右子树高度 - 左子树高度；非必须，也可以不要，只是方便我们实现的一种方式！

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)

单支树的效率是$O(N)$，AVL树不一样，在10亿中只用找30次（可能多一点）

二. AVL树结点的定义

此处我们定义成三叉链结构 ，方便后序的操作；也在每个节点引入了平衡因子（右子树高度-左子树高度），还需要实现一下构造函数，左右子树以及父节点都是空，再把平衡因子设置为0即可

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	//定义三叉链
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	 
	//存储的键值对
	pair<K, V> _kv;

	//平衡因子(balance factor)
	int _bf;

	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

注意：平衡因子不是必须的，只是我们实现高度平衡的一种方式，不用平衡因子也是可以实现的

三. AVL树的插入

插入节点有三个步骤

1. 按照二叉搜索树的原理，找到待插入的位置
2. 判断待插入的节点是在parent的左还是右，插入节点
3. 更新平衡因子，如果发现不平衡，则要旋转

🔥因为AVL树本身就是一颗二叉搜索树，插入规则（比较节点大小即可）：

• 插入的节点key值 > 当前位置的key值，插入到右子树
• 插入的节点key值 < 当前位置的key值，插入到左子树
• 插入的节点key值等于当前位置的key值，插入失败

🌈那判断完插入成功与否，是不是就要判断平衡因子的更新了

平衡因子是否更新取决于：该结点的左右子树的高度是否发生了变化，因此插入一个结点后，该结点的 祖先结点的平衡因子可能需要更新

🌏更新平衡因子的规则：

• 新增在右，parent -> bf++；新增在左，parent -> bf --；

每更新完一个结点的平衡因子后，都需要进行以下判断：

1. 如果parent的平衡因子等于-1或者1，表明还需要继续往上更新平衡因子
2. 如果parent的平衡因子等于0；表明无需往上更新平衡因子
3. 如果parent的平衡因子等于-2或者2；就已经不平衡了，需要旋转处理
4. 如果parent的平衡因子大于2或者小于-2；就说明之前插入的就不是AVL树了，赶紧去检查💥

更新后的平衡因子	分析
-1 or 1	说明parent插入前的平衡因子是0；左右子树高度相等，插入后有一边高，parent高度变了，则需要往上继续更新
0	说明parent插入前的平衡因子是 -1 or 1；左右子树一边高一边低，插入后两边相等，插入的填上了矮的那一边，parent的高度不变，不需要继续往上更新
-2 or 2	说明parent插入前的平衡因子是 -1 or 1；已经是平衡的临界值了；插入后变成-2 or 2 ；打破了平衡，parent所在的子树需要旋转处理

最坏的情况如下：一路更新到root根节点

那么我们更新平衡因子时第一个更新的就是parent结点的平衡因子，更新完parent结点的平衡因子后，若是需要继续往上进行平衡因子的更新，向上递归，直到parent为空的情况，以下逻辑是必须的

	cur = parent;
	parent = parent->_parent; 

当平衡因子出现了2/-2的情况，要对子树进行旋转处理，但也要遵守原则

• 旋转成平衡树
• 保持搜索树的规则

而旋转有四种大情况，对此我们要进行分类：

1. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时，进行左单旋

2. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1时，进行右单旋

3. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为1时，进行左右双旋

4. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为-1时，进行右左双旋

注意：旋转过后无需再往上更新平衡因子了，因为高度已经没有发生变化了，也就不会影响父节点的平衡因子了

	//插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//若为空树，直接插入作为根节点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//和二叉搜索树类似，找到该插入的节点位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)//插入节点值大于当前节点的key
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;//往右走
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)//插入节点值小于当前节点的key
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;//往左走
			}
			else
			{
				//插入的节点key值等于当前位置的key值，插入失败
				return false;
			}
		}
		//开始插入
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}

		//连接parent
		cur->_parent = parent;

		//控制平衡
		//1、更新平衡因子

		while (parent)
		{
			if (cur == parent->right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//也可以用abs
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//说明parent所在的子树已经不平衡了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);//左单旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);//右单旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);//左右双旋
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);//在插入前树的平衡因子就有问题
			}
		}
		return true;
	}

四. AVL树的旋转

🥑左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

⚡动图展示：

抽象图过程解析：

其中h可以等于0、1、2等等，不过都可以归纳到这种大情况，处理情况都一样，都是引发parent 等于2，cur等于1

左单旋旋转步骤：

1. subRL变成parent的右子树（subL和parent的关系，要注意🔥subL可能为空）
2. parent成为subR的左子树（parent和subLR的关系）
3. subR成为根节点（ppNode 和 subL关系，也要注意🔥parent是子树的根还是整棵树的根）
4. 最后更新平衡因子

为什么要这样旋转？要符合二叉搜索树规则

• subR的左子树的值本身就比parent的值要大，所以可以作为parent的右子树
• parent及其左子树当中结点的值本身就比subR的值小，所以可以作为subR的左子树

平衡因子更新：

可以看见，左单旋后树的高度就平衡了，也就无需继续向上更新平衡因子了

代码实现如下：（详细注释）

	void RotateL(Node* parent)
	{
	    //三叉链
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subLR = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		//subR 和 parent之间的关系
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//subRL 和 parent之间的关系
		subRL = parent->_right;
		if (subRL)
			subRL->parent = parent;

		//ppNode 和 subR的关系
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;//没有父节点，所以为空
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		
		//更新平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

🥑右单旋（和左单旋高度相似）

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

动图演示：

抽象图过程解析：

右单旋旋转步骤：

与左单旋雷同，看上面就行

同样也要满足二叉搜索树的性质：也是和左单旋雷同，看上面就行

平衡因子更新如下：

同样右单旋后，parent的平衡因子为0，左右子树高度相等，也就无需继续往上更新平衡因子了

话不多说上代码：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* ppNode = parent->_parent;

	//subL 和 parent的关系
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	//subLR 和 parent之间的关系
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//ppNode 和 subL的关系
	if (ppNode == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left == subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right == subL;
		}
		subL->_parent = ppNode;
	}
		
	//更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

🔥左右单旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋、

动图演示：

在b树或者c树中新增节点，均会引发左右双旋

旋转示意图如下：

1、插入新节点

2、以30为旋转点进行左单旋

3、以90为旋转点进行右单旋

左右单旋的步骤如下：

1. 以subL为节点左单旋
2. 以parent为节点右单旋
3. 更新平衡因子（这才是重点）

左右双旋后满足二叉搜索树的性质：

实际上就是把subLR的左子树和右子树，分别作为subL和parent的右子树和左子树，再让subL和parent分别作为subLR的左右子树，最后让subLR作为整个子树的根（看图理解）

• subLR左子树的节点值比subL的值大，所以可以作为subL的右子树
• subLR右子树的节点值比parent的值小，因此可以作为parent的左子树
• 前两个步骤之后，subL以及子树的值，和parent的值均符合，所以可以当subLR的左右子树

重点来了：（以subLR为突破口）
左右双旋后，平衡因子的更新随着subLR原始平衡因子的不同分为以下三种情况：

1. 当subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0

2. 当subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0

3. 当subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0

经过左右双旋后，即树的高度没有发生变化，所以无需继续往上更新平衡因子

话不多说，代码实现一下吧：

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		//subL节点左单旋
		RotateL(subL);

		//parent节点进行右单旋
		RotateR(parent);

		//更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if(bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);//旋转前的平衡因子就出错了
		}
	}

🔥右左单旋

动图演示：

旋转图演示过程：

1、插入新节点

2、以subR的节点进行右单旋

3、以parent的节点进行右单旋

旋转步骤和左右双旋雷同

重点来了：（以subRL为突破口）
左右双旋后，平衡因子的更新随着subRL 原始平衡因子的不同分为三种情况分别对应subRL = 0、1、2情况，此处就不多赘述了，详细可以浏览左右双旋的，情况一样

代码实现

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		//subR右单旋
		RotateR(subR);

		//parent进行左单旋
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

五. 验证AVL树

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   • 节点的平衡因子是否计算正确

先验证是否为二叉搜索树

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;


		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

但中序遍历只能代表是二叉搜索树，不能代表是AVL树，为此还需要验证二叉树的平衡性，查平衡因子有一种监守自盗的感觉，因为平衡因子我们刚修改完，所以我们去查高度俩判断！

• 如果是空树，证明平衡，是AVL树
• 根高度差不大于2，并且递归子树的高度差都不大于2，即是AVL树
• 特殊情况，平衡因子和该点的高度差对不上，要判断一下

	//是否平衡
	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHT = Height(root->_left);
		int rightHT = Height(root->_right);
		int diff = rightHT - leftHT;
		
		if (diff ！ = root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		//小于2就为真 并且递归调用子树判断是否平衡
		return abs(diff) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	//后序查找
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHT = Height(root->_left);
		int rightHT = Height(root->_right);

		return max(leftHT, rightHT) + 1;
	}

六. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合