1、红黑树的简介
红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。
红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”。
红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。
它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的： 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n 是树中元素的数目
2、红黑树的优点
- 红黑树保证了一种弱平衡，即树的高度最多是2倍的对数级别。这使得红黑树在插入和删除操作时具有更高的灵活性
- AVL树是一种严格的平衡树，保证任何节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）不超过1。这确保了AVL树在平衡方面表现更好，但在插入和删除操作时可能需要更多的旋转来维持平衡
- 红黑树是具备了某些特性的二叉搜索树，能解决非平衡树问题，红黑树是一种接近平衡的二叉树（说它是接近平衡因为它并没有像AVL树的平衡因子的概念，它只是靠着满足红黑节点的5条性质来维持一种接近平衡的结构，进而提升整体的性能，并没有严格的卡定某个平衡因子来维持绝对平衡）
3、红黑树的基本概念和性质
3.1、红黑树的基本定义
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
3.2、红黑树性质的要点
- 根节点是黑色的
- 不能有两个相连的红色节点。这意味着从任意节点到其子节点的路径上不能出现连续的红色节点，以避免出现不平衡情况
- 从任意节点出发，到达其每个叶子节点的路径上的黑色节点数量必须相同。这确保了树的高度始终保持在一个合理的范围内，从而保证了高效的查找操作
- 空节点（NIL节点）被认为是黑色的。这样可以确保每个路径上的黑色节点数量相等，即使是经过了空节点的路径。
- 性质3和性质4我们可以推出一个红黑树中最长路径应该是最短路径的二倍，最短路径：全为黑，最长路径：一黑一红
我们需要注意的是空节点（NIL节点）被认为是黑色的，从任意节点出发，到达其每个叶子节点的路径上的黑色节点数量必须相同
4、红黑树的效率
4.1 红黑树效率
红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)
4.2 红黑树和AVL树的比较
- AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
- 红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
- 红黑树整体性能略优于AVL树，红黑树旋转情况少于AVL树
5、对旋转的基本理解
在数据结构中，旋转是一种常见的操作，用于调整树或其他数据结构的结构以保持平衡或满足某些性质。在红黑树、AVL树、二叉搜索树等数据结构中，旋转操作通常用于平衡树的结构，以确保高效的插入、删除和查找操作。旋转操作有两种基本类型：左旋和右旋
5.1、左旋
左旋是一种将某个节点的右子节点旋转上来的操作。它会将当前节点下移，并且将其右子节点提升为新的父节点。这可以用于解决树向右倾斜的情况，以保持树的平衡。左旋的基本步骤：
- parent:30
- subR:50
- subRL:b
- subRL变成parent的右子树
- parent变成subR的左子树
- subR变成新根
5.2、右旋
- 50为parent，30为subL，b为subLR
- subLR变成parent的左子树
- parent变成subL的右子树
- subL变成新根
5.3、代码展示
template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateL(Node* parent) //左旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
subR->_left = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
}
template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateR(Node* parent) //右旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent) //parent就是根，无需向上调整
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else //parent不是根，继续向上调整
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
}6、红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
- 按照二叉搜索的树规则插入新节点
- 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定
:cur
为当前节点，
p
为父节点，
g
为祖父节点，
u
为叔叔节点
- 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
- 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
- 情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
6.1、情况一
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整
- 如果g是根节点，调整完后要将g变为黑色
- 如果g不是根节点，继续向上调整
6.2、情况二
情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
解决方式：p为
g
的左孩子，
cur
为
p
的左孩子，则对g进行右单旋转；相反，
p为g
的右孩子，
cur
为
p的右孩子，则对g进行左单旋转
p、g
变色
--p
变黑，
g
变红
6.3、情况三
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
解决方式：p为
g
的左孩子，
cur
为
p
的右孩子，则针对
p做左单旋转，再对g进行右单旋转；相反，
p为g
的右孩子，
cur
为
p
的左孩子，则针对
p做右单旋转，再对g进行左单旋转
6.4、插入代码展示
template<class K, class V>
bool RBTree<K,V>::Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
// 新增节点给红色
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
// g
// p u
// c
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// 变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上更新处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// 单旋
// g
// p
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// 双旋
// g
// p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else // parent == grandfather->_right
{
// g
// u p
// c
//
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// 变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// u p
// c
//
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
