0. 前言

我们已经知道，可以将图像变换分为线性变换与非线性变换两类，在《图像线性变换》一节中，我们介绍了如何在图像上应用欧几里得变换(例如，旋转、反射)和仿射转换。在本节中，我们将进一步学习如何利用 scikit-image 库执行图像变换，除了线性变换外，本节着重讲解了如何执行旋涡变换、弹性变换等非线性变换。

1. 使用 scikit-image warp() 函数执行图像变换

2D 线性几何变换是点转换，它们会被应用于图像中的每个像素，以得到变换后的输出图像。本节中，我们将介绍如何使用 scikit-image 库中的 warp() 函数来执行图像变换。

1.1 scikit-image warp() 函数原理

对于变换后的输出图像中的像素值 $f(x^{\prime },y^{\prime })$ 可以使用以下方程式在输入图像对应位置 $(u,v)$ 处获取，将得到的像素值赋值给输出图像即可得到结果：

$$f(x^{\prime },y^{\prime })=g(u,v)$$

其中，$x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 分别表示沿 $x$ 和 $y$ 轴的变换 $x(u,v)=x^{\prime }$，$y(u，v)=y’$，我们也可以使用反扭曲来实现图像变换。使用 warp() 函数是更通用的图像变换方式，可用于实现线性(例如，使用矩阵乘法来实现的变换)和非线性图像变换。使用 warp() 函数执行图像变换，我们需要提供(反向)变换函数，而非变换矩阵。

1.2 利用 warp() 函数实现图像变换

根据 scikit-image 文档，我们得知 warp() 函数可以通过使用如下输入参数调用，利用该函数我们可以以更通用的方式实现图像变换(函数的输入参数如下)：

skimage.transform.warp(image, inverse_map, map_args={}, output_shape= None, order=1, mode='constant', cval=0.0, clip=True, preserve_range=False)

warp() 函数根据给定的坐标变换函数 inverse_map 扭曲图像 image。接下来，我们实际应用 warp() 函数实现图像变换。

(1) 首先，导入所有所需的库，从 scikit-image 库的 transform 模块中导入 warp 函数：

from skimage.io import imread
from skimage.transform import warp
import matplotlib.pylab as plt

(2) 接下来，定义 translate() 函数，该函数用于在 warp() 函数中作为 inverse_map 参数实现像素坐标变换：

def translate(xy, t_x, t_y):
    xy[:, 0] -= t_y
    xy[:, 1] -= t_x
    return xy

(3) 读取输入图像，并将输入图像与变换函数一起传入 warp() 函数作为参数：

im = imread('1.png')
im = warp(im, translate, map_args={'t_x':-250, 't_y':200}) # 创建字典用于变换参数
plt.imshow(im)
plt.title('Translated image', size=20)
plt.show()

下图显示了程序执行后的输出，即将变换函数应用于输入图像后得到的输出图像：

2. 漩涡变换详解

在上一小节中，我们学习了如何执行图像的线性变换，在本节中，我们将学习如何实现图像的非线性变换——漩涡变换 (swirl transform)。

2.1 旋涡变换原理

我们假设输出图像中的坐标为 $(x,y)$，漩涡变换的反向映射首先应计算其相对于中心 $(x_0,y_0)$ 的极坐标：
$$\begin{gathered} \theta =arctan(\frac{y}{x}) \\ \rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2} \end{gathered}$$
然后，根据以下公式对其进行变换：
$$\begin{gathered} r=ln2\cdot \frac{radious}{5} \\ {\theta }^{\prime }=\psi +s\cdot e^{-\frac{\rho }{r}+\theta } \end{gathered}$$
其中 $\psi$ 表示旋转角度，$s$ 表示像素值强度。接下来，我们利用 warp() 函数实现漩涡变换。

2.2 使用 scikit-image warp() 实现旋涡变换

(1) 首先，导入所需库，并定义 swirl() 函数，该函数根据上述数学公式实现像素漩涡变换：

from skimage.io import imread
from skimage.transform import warp
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np

def swirl(xy, x0, y0, R):
    r = np.sqrt((xy[:,1]-x0)**2 + (xy[:,0]-y0)**2)
    a = np.pi*r / R
    xy[:, 1] = (xy[:, 1]-x0)*np.cos(a) + (xy[:, 0]-y0)*np.sin(a) + x0
    xy[:, 0] = -(xy[:, 1]-x0)*np.sin(a) + (xy[:, 0]-y0)*np.cos(a) + y0
    return xy

(2) 读取输入图像，然后将图像与 swirl() 函数输入参数调用 warp() 函数，以将非线性变换应用于输入图像：

im = imread('1.png')
print(im.shape)
im1 = warp(im, swirl, map_args={'x0':250, 'y0':350, 'R':600})
plt.figure(figsize=(20,10))
plt.subplot(121), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('Input image', size=10)
plt.subplot(122), plt.imshow(im1), plt.axis('off'), plt.title('Output image', size=10)
plt.show()

函数 swirl() 接受参数 xy、x0、y0 和 r，并根据 warp() 函数的 map_args 参数进行设定。
执行以上代码，可以得到以下结果图像：

需要注意的是，x0、y0 和 R 参数传递给 swirl() 函数，通过修改这些参数值，可以观察到不同参数对输出图像的影响。

2.3 使用 scipy.ndimage 实现漩涡变换

在上一小节中，我们学习了如何使用 scikit-image warp() 实现旋涡变换；在本小节中，我们将继续学习如何使用 scipy.ndimage 的 geometric_transform() 函数实现非线性漩涡变换。

(1) 首先，导入所需库，并定义实现漩涡变换所需的函数 apply_swirl()：

from scipy import ndimage as ndi
from skimage.io import imread
from skimage.color import rgb2gray
import matplotlib.pylab as plt, numpy as np

def apply_swirl(xy, x0, y0, R):                                                                        
    r = np.sqrt((xy[1]-x0)**2 + (xy[0]-y0)**2)
    a = np.pi*r / R
    return ((xy[1]-x0)*np.cos(a) + (xy[0]-y0)*np.sin(a) + x0, -(xy[1]-x0)*np.sin(a) + (xy[0]-y0)*np.cos(a) + y0)

函数 apply_swirl() 接受参数 xy、x0、y0 和 r，并根据 geometric_transform() 函数的 extra_arguments 参数进行设定。

(2) 接下来，读取输入图像，并将其转换为灰度图像，从 scipy.ndimage 模块中调用 geometric_transform() 函数，然后将 apply_swirl() 函数作为参数传递给 geometric_transform() 函数，用于执行漩涡变换。

im = rgb2gray(imread('1.png'))
print(im.shape)
im1 = ndi.geometric_transform(im, apply_swirl, extra_arguments=(300, 200, 620))

(3) 最后，绘制原始图像和变换后的图像：

plt.figure(figsize=(20,10))
plt.gray()
plt.subplot(121), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('Input image', size=10)
plt.subplot(122), plt.imshow(im1), plt.axis('off'), plt.title('Output image', size=10)
plt.show()

3. 使用 scikit-image 实现弹性变形

3.1 弹性变形原理

对图像应用位移场( displacement fields )可以产生图像畸变，通过位移场可以计算每个像素原始位置的新目标位置。位置 $(x,y)$ 处的新目标位置根据原位置得出，例如，如果 $\Delta X(x,y)=1$、$\Delta y(x,y)=0$ 这意味着每个像素的新位置都向右移动 1。我们可以通过以下步骤创建图像弹性变形：

• 首先，生成随机位移场，即 $\Delta y(x,y)=rand(-1,+1)$、$\Delta x(x,y)=rand(-1,+1)$，其中 $rand(-1,+1)$ 用于生成一个在 -1 和 1 之间的随机数
• 然后用标准偏差为 $\sigma$ 的高斯函数(以像素为单位)与 $\Delta x$、$\Delta y$ 执行卷积
• 如果 $\sigma$ 很大，因为随机值的平均值为 0，则将导致结果值非常小，如果我们将位移场进行归一化，则位移场将接近具有随机方向的常数；如果 $\sigma$ 很小，则位移场在归一化后近似于完全随机的场。如果 $\sigma$ 值大小合适，位移场则类似弹性变形，其中 $\sigma$ 为弹性系数
• 然后将位移场乘以控制变形强度的缩放因子 $\alpha$

3.2 实现弹性变形

(1) 首先导入所需的库，然后自定义函数实现弹性变形函数 elastic_transform()：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from skimage.color import rgb2gray
from scipy.ndimage import gaussian_filter, map_coordinates

def elastic_transform(image, alpha, sigma):
    random_state = np.random.RandomState(None)
    h, w = image.shape
    dx = gaussian_filter((random_state.rand(*image.shape) * 2 - 1), sigma, mode="constant", cval=0) * alpha
    dy = gaussian_filter((random_state.rand(*image.shape) * 2 - 1), sigma, mode="constant", cval=0) * alpha
    x, y = np.meshgrid(np.arange(w), np.arange(h))
    indices = np.reshape(y+dy, (-1, 1)), np.reshape(x+dx, (-1, 1))
    distored_image = map_coordinates(image, indices, order=1, mode='reflect')
    return distored_image.reshape(image.shape)

函数 map_coordinates() 通过插值将输入阵列映射到新的坐标，坐标的数组用于为输出中的每个点找到输入中的相应坐标，这些坐标处的输入值由调用函数时所用的插值参数 order 确定。

(2) 使用 matplotlib 的 imread() 函数读取输入图像，并使用 skimage.color 的 rgb2gray() 函数将其转换为灰度图像：

img = rgb2gray(plt.imread('2.png'))

(3) 调用 elastic_transform() 函数将弹性变形应用于图像：

img1 = elastic_transform(img, 100, 4)

(4) 绘制原始输入和应用弹性形变后的输出图像：

plt.figure(figsize=(20,10))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.axis('off'), plt.title('Original', size=10)
plt.subplot(122)
plt.imshow(img1, cmap='gray')
plt.axis('off'), plt.title('Deformed', size=10)
plt.tight_layout()

小结

在本节中，我们学习了如何使用 scikit-image 库中的通用图像变换函数 warp()，该函数不仅可以实现常见的图像线性变换，而且能够实现包括旋涡变换、弹性变换等在内的非线性变换。在实际应用 warp() 函数之前，我们还学习了不同非线性变换的基本数学原理，以分辨其与线性变换之间的差别。

系列链接

Python图像处理【1】图像与视频处理基础
Python图像处理【2】探索Python图像处理库
Python图像处理【3】Python图像处理库应用
Python图像处理【4】图像线性变换