【01背包理论】01背包问题dp[j]

有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。
第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。
每件物品只有一个，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

题解

动态规划

• 确定 dp 数组以及下标的含义
  滚动数组 dp[j] ：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]

• 确定递推公式
  dp[j]为 容量为 j 的背包所背的最大价值：
  dp[j] 可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
  dp[j]有两个选择：

  • 一个是取自己 dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i（更上次一样）。
  • 一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

• dp数组如何初始化

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，首先 dp[0]=0
dp 数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以，即其他下标的值均初始化为0，这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖。

• 确定遍历顺序
  二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大一维dp遍历的时候，背包是从大到小
  先正序物品再逆序背包，倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次，一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

• 举例推导 dp 数组（打印 dp 数组）
  背包最大重量为4。物品：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWight = 4;
        testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
    }

    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
        int wLen = weight.length;
        //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为 j 时，能获得的最大价值
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        
        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量(倒序)
        for (int i = 0; i < wLen; i++){
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        
        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            System.out.print(dp[j] + " ");
        }
    }
}