进制的转换

一、进制的表示

二进制（B）：
$$0,1,10,11,100,101,110,111,1000$$
对应的十进制是：$$0,1,2,3,4,5,6,7,8$$
八进制（O）：
$$0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12$$
对应的十进制是：$$0,1,2,3,4,5,6,7,8$$
十进制（D）：
$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$$
十六进制（H）：
$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12$$

注意：计算机中的一切数据，如数字，汉字，图片，声音，视频，指令等都是用二进制进行表示和传输的。–通过转码展示出来
ASCII:美国信息交换标准代码，一般使用7位二进制数来表示字母，数字，标点符号及部分特殊控制字符（128种）（例如：A :65，a:97）

二、 十进制和其他进制间的转换

1、其他进制转十进制

R进制转十进制使用按权展开法，其具体操作方法为：将R进制的每一位数值用R^k 形式表示，即幂的底数是R，指数是k,k与改位和小数点之间的距离有关。
当该位位于小数点左边，k值是该位和小数点之间数码的个数，而当该位位于小数点右边，k值是负数，其绝对值是该位和小数点之间数码的个数加1.
R进制数：
$$X_{n-1}....X_0.X_{-1}=X_{n-1}{R}^{n-1}+...X_0{R}^0+X_{-1}{R}^{-1}$$

例如：二进制转十进制
$$10100.01(B)=1\ast 2^4+1\ast 2^2+1\ast 2^{-2}=20.25(D)$$
例如：八进制
$$666.066(O)=6\ast 8^2+6\ast 8+6\ast 8^0+6\ast 8^{-2}+6\ast 8^{-3}=438.105469(D)$$

2、十进制转其他进制

（1）十(D)进制转二进制(B)
整数：采用"除2取余，逆序排列"法，用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数;再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为小于1时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
小数：转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法，具体做法是:用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止；然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
例如：255.625（D）=11111111.101(B)


（2）十(D)进制转八进制(O)
整数：采用"除8取余，逆序排列"法，先得到的余数作为低位有效位，后得到的余数作为高位有效位;
小数：转换成八进制小数采用"乘8取整，顺序排列"法
例如：266.67(D)=412.527(O)
266/8=33 ======余2
33/8=4 ======余1
4/8=0 ======余4
0.678=5.36 -------取整5
0.368=2.88 -------取整2
0.888=7.04 -------取整7
0.048=0.32 -------取整0

（3）十进制(D)转十六进制（H)

整数：采用"除16取余，逆序排列"法，先得到的余数作为低位有效位，后得到的余数作为高位有效位;
小数：转换成八进制小数采用"乘16取整，顺序排列"法
例如1616.16(D)=650.28155(H)
1616/16=101-----余0
101/16=6----------余5
6/16=0-------余6
0.1616=2.56
0.5616=8.96
0.9616=15.36
0.3616=5.76
…

其他进制也是同理

3、二进制，八进制，十六进制之间的转换

（1）二进制转八进制
取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每三位取成一位

例如：二进制转八进制
10100.011101(B)=24.35(O)

（2）二进制转十六进制
十六进制的计算是以小数点为中心，向左右两边扩展，4个数为一组

例如：10110011.1011(B)=B3.B(H)
整数：
$$1011=1\ast 2^3+1\ast 2+1\ast 2^0=B$$
$$0011=1\ast 2+1\ast 2^0=3$$
小数：
$$1011=1\ast 2^3+1\ast 2^1+1\ast 2^0=B$$

（3）八进制转二进制

将一位的八进制数转化为三位的二进制数，不足三位的补0
例如:
324(O)=011010100=11010100(B)

（4）十六进制转二进制
将一位的十六进制数转化为四位的二进制数，不足四位的补0
例如:
324(H)=001100100100=1100100100(B)
7C(H)=1111100(B)
（七）十六进制与八进制相互转换
可以通过将十六进制转为二进制之后转为八进制，八进制转十六进制也可同理。