(排序) 剑指 Offer 51. 数组中的逆序对 —

(排序) 剑指 Offer 51. 数组中的逆序对 ——【Leetcode每日一题】

news2025/10/31 22:53:40

❓剑指 Offer 51. 数组中的逆序对

难度：困难

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

示例 1:

输入: [7,5,6,4]
输出: 5

限制：

0 <= 数组长度 <= 50000

💡思路：归并排序

预备知识

「归并排序」是用分治思想，分治模式在每一层递归上有三个步骤：

分解（Divide）：将 n 个元素分成个含 n/2 个元素的子序列。
解决（Conquer）：用合并排序法对两个子序列递归的排序。
合并（Combine）：合并两个已排序的子序列已得到排序结果。

在这里插入图片描述
具体的我们以一组无序数列｛14，12，15，13，11，16｝为例分解说明，如下图所示：

在这里插入图片描述

在待排序序列长度为 1 的时候，递归开始「回升」，因为我们默认长度为 1 的序列是排好序的。

具体思路：

那么求逆序对和归并排序又有什么关系呢？关键就在于「归并」当中「并」的过程。

合并阶段 本质上是 合并两个排序数组 的过程：

每当遇到 左子数组当前元素 > 右子数组当前元素 时，意味着
- 「左子数组当前元素i 至末尾元素m」与「右子数组当前元素」构成了若干「逆序对」 ;
- 逆序对数 cnts += (m - i + 1) 。
考虑在归并排序的合并阶段统计「逆序对」数量，完成归并排序时，也随之完成所有逆序对的统计。

🍁代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
private:
    int cnts = 0;
    void mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解决 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        vector<int> tmp(nums.size());//辅助数组，临时记录中间合并的子数组
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.size() - 1);
        return cnts;
    }
};

Java

class Solution {
    private int cnts = 0;
    private void mergeSort(int[] nums, int[] tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解决 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
    public int reversePairs(int[] nums) {
        int[] tmp = new int[nums.length];//辅助数组，临时记录中间合并的子数组
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.length - 1);
        return cnts;
    }
}