画一棵分形树

分形树，就是用分形的逻辑去画一棵树，所谓分形，若从编程的角度去理解，其实就是简单规则的反复迭代。

例如，现在有一条线段，长为$L$，在这个线段的端点处再画两个线段，每个线段的长度为$\frac{2}{3}L$，与前一个线段的夹角为$\pm 10°$，将这个规则不断进行下去，直到线段长度小于$\delta$。

接下来，先做一个线段的类

import numpy as np
class segment:
    def __init__(self, st, th, L):
        self.st = st
        self.th = th
        self.L = L
        self.setEd()
    def setEd(self):
        x, y = self.st
        th = np.deg2rad(self.th)
        dx = self.L*np.cos(th)
        dy = self.L*np.sin(th)
        self.ed = (x+dx, y+dy)
    def getAxis(self):
        xs = (self.st[0], self.ed[0])
        ys = (self.st[1], self.ed[1])
        return (xs, ys)
    def getChild(self, dTh, L):
        ths = [self.th + dTh, self.th-dTh]
        return [segment(self.ed, th, L) for th in ths]

其中setEd用于设置线段的终点；getChild通过给定夹角和线段长度比例，得到连接在当前线段端点处的另外两个线段。

然后，实现分形树的迭代逻辑。由于分形树存在一个代际的关系，所以从组织上来看，可以将分形树写成多个代的列表。

def fractal(L, minL, dL, dTh=15, th0=90):
    segs = [[segment((0,0), th0, L)]]
    while L > minL:
        L *= dL
        segs.append([])
        for seg in segs[-2]:
            segs[-1] += seg.getChild(dTh, L)
    return segs

segs = fractal(10, 2, 0.8, 10, 90)

接下来，把这棵分形树画出来

from itertools import chain
import matplotlib.pyplot as plt
segs = list(chain(*segs))
for seg in segs:
    xs, ys = seg.getAxis()
    plt.plot(xs, ys, color='green')

plt.show()

效果如图所示

这棵树要说有什么问题，就是过于死板了，正常的树肯定不会长得这么标致。

加入随机量的分形树

如果让segment在生成子线段的时候，加上一点随机性，效果可能会更好

# 修改segment中的getChild
rand = lambda r : 1 + r*(np.random.rand()-0.5)
def getChild(self, dTh, L, rL=None, rTh=None):
    if type(L) != list:
        L = [L, L]
    if type(dTh) != list:
        dTh = [dTh, -dTh]
    if rL:
        L = [iL*rand(rL) for iL in L]
    if rTh:
        dTh = [iTh*rand(rTh) for iTh in dTh]
    return [segment(self.ed, self.th+dTh[i], L[i])
        for i in range(len(L))]

相应地，分形逻辑改写为

def fractal(L, minL, dL, dTh=15, th0=90, rL=0.1, rTh=0.1):
    segs = [[segment((0,0), th0, L)]]
    while L > minL:
        L *= dL
        segs.append([])
        for seg in segs[-2]:
            segs[-1] += seg.getChild(dTh, L, rL, rTh)
    return segs

最后画图

segs = fractal(10, 1, 0.75, 15, 90, rL=0.5, rTh=0.5)
segs = list(chain(*segs))
for seg in segs:
    xs, ys = seg.getAxis()
    plt.plot(xs, ys, color='green')

plt.axis("off")
plt.show()

加入点缀的圣诞树

如果觉得这棵树空荡荡地不好看，那么可以在树枝的末端添加一些点缀

segs = fractal(10, 1.5, 0.75, 15, 90, rL=0.5, rTh=0.5)
pts = np.array([s.ed for s in segs[-1]])
segs = list(chain(*segs))
for seg in segs:
    xs, ys = seg.getAxis()
    plt.plot(xs, ys, color='g', zorder=1)

xs, ys = pts.T
N = len(xs)
colors = np.random.rand(N)
areas = (np.random.rand(N)*30)**2
plt.scatter(xs, ys, s=areas, c=colors, 
    marker='*', alpha=0.8, zorder=2)

plt.axis("off")
plt.show()

效果为