约数之和（质因子分解）

news2025/10/31 5:05:04

思路：

（1）由数论基本定理，任何一个正整数x都能写作 $p1_{}^{\partial 1}p2_{}^{\partial 2}...pk_{}^{\partial k}$ ，其中p1,p2..pk为x的质因子。

（2）由此可以推断，要求一个数约数的和，注意到约数就是p1,p2...pk的一种组合，实际上就是求这些质因子的所有组合方式的和，每种质因子有( $\partial i + 1$ )种选择，显然是( $\partial 1+ 1$ )...( $\partial k + 1$ )种不同组合，将这些组合相加即为约数的和,进行分配律合并即为:

( $p1^{0} + p1^{1} + p1^{2} +...+p1^{\partial 1}$ )...( $pk^{0} + pk^{1} + pk^{2} +...+pk^{\partial k}$ )；

(3)那么先可以进行质因子分解，拿到质因子及其个数后，考虑求取

( $pi^{0} + pi^{1} + pi^{2} +...+pi^{\partial i}$ );显然这相当于pi进制的一个1111...111的数共 ( $\partial i + 1$ )项；设t为1，用乘pi加1,循环 $\partial i$ 次即可得到( $pi^{0} + pi^{1} + pi^{2} +...+pi^{\partial i}$ )的值了，以此计算相乘取模即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
    LL n;
    cin >> n;
    
    unordered_map<int,int> q;
    
    while(n --)
    {
        LL x;
        cin >> x;
        
        for(int i = 2;i <= x/i;i ++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                q[i] ++;
                x /= i;
            }
        }
        
        if(x > 1) q[x] ++;
    }
    
    LL res = 1;
    for(auto t : q)
    {
        LL p = t.first;
        LL e = t.second;
        
        LL tmp = 1;
        while(e --)
        {
            tmp = (tmp*p + 1) % mod;
        }
        
        res = res*tmp %mod;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

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