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模型评估和选择

训练误差和测试误差

将预测系统的X作为输入，输入到模型里面，就可以得到预测结果。

学习到的模型：$Y=\hat{f}(X)$

训练集(Training Set)： T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ⋯   , ( [ x N , y N ) } T=\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \cdots,\left(\left[_{x_{N}}, y_{N}\right)\right\}\right. T={(x1​,y1​),(x2​,y2​)⋯,([xN​​,yN​)}

训练误差(Training Error) ：$R_{emp}(\hat{f})=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L\left(y_i,\hat{f}\left(x_i\right)\right)$

测试集(Test Set）： T ′ = { ( x 1 ′ , y 1 ′ ) , ( x 2 ′ , y 2 ′ ) ⋯   , ( x N ′ , y N ′ ) } T^{\prime}=\left\{\left(x_{1^{\prime}}, y_{1^{\prime}}\right),\left(x_{2^{\prime}}, y_{2^{\prime}}\right) \cdots,\left(x_{N^{\prime}}, y_{N^{\prime}}\right)\right\} T′={(x1′​,y1′​),(x2′​,y2′​)⋯,(xN′​,yN′​)}

测试误差(Test error)：$e_{\text{test }}=\frac{1}{N^{\prime }}{\sum }_{i^{\prime }=1}^{N^{\prime }}L\left(y_{i^{\prime }},\hat{f}\left(x_{i^{\prime }}\right)\right)$

误差率(Error Rate)：$e_{test}=\frac{1}{N^{\prime }}{\sum }_{i^{\prime }=1}^{N^{\prime }}I\left(y_{i^{\prime }}\ne \hat{f}\left(x_{i^{\prime }}\right)\right)$ = 预测结果不等于真实结果/总数

准确率(Accuracy)：$r_{\text{test }}=\frac{1}{N^{\prime }}{\sum }_{i^{\prime }=1}^{N^{\prime }}I\left(y_{i^{\prime }}=\hat{f}\left(x_{i^{\prime }}\right)\right)$ = 预测结果等于真实结果/总数

过拟合

过拟合(Over-Fitting) ：学习所得模型包含参数过多，出现对已知数据预测很好，但对未知数据预测很差的现象。

预测误差与模型复杂度的关系：

正则化与交叉验证

正则化

正则化：实现结构风险最小化策略
$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)+\lambda J(f)$$
经验风险$\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)$越小，误差就越小，但模型复杂度越大，预测误差是按照上方图来变化的，故而我们需要用$\lambda$来权衡经验风险和模型复杂度。

常用的正则化项为L1范数和L2范数。
L1范数：$$L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(f\left(x_i;w\right)-y_i\right)}^2+\lambda \Vert w{\Vert }_1$$
L2范数：$$L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(f\left(x_i;w\right)-y_i\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\Vert w{\Vert }_2^2$$

奥卡姆剃刀原理：在模型选择时，选择所有可能模型中，能很好解释已知数据并且十分简单的模型。

交叉验证

数据不足情况下可以使用S折交叉验证
S折交叉验证：随机将数据分为S个互不相交、大小相同的子集，其中以S-1个子集作为训练集，余下的子集作为测试集。

注：以上笔记素材来自于 [B站_简博士_十分钟 机器学习 系列视频 《统计学习方法》]