【动态规划】子序列系列

news2025/11/4 20:29:07

文章目录

  • 动态规划（子序列系列）
    • 1. 最长递增子序列
    • 2. 摆动序列
    • 3. 最长递增子序列的个数
    • 4. 最长数对链
    • 5. 最长定差子序列
    • 6. 最长的斐波那契子序列的长度
    • 7. 最长等差数列
    • 8. 等差数列划分 || - 子序列

动态规划（子序列系列）

1. 最长递增子序列

题目链接

  1. 状态表示

    dp[i]表示到 i 位置时，所有子序列当中最长的子序列的长度

  2. 状态转移方程

    image-20230731141850644

  3. 初始化

    表中的所有数据初始化为1

  4. 填表

    从左到右

  5. 返回值

    返回整个dp表里面最大的值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1);
        int ret = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                if (nums[i] > nums[j])
                {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

2. 摆动序列

题目链接

  1. 状态表示

    f[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子序列当中，最后一个位置是上升的最长摆动序列的长度

    g[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子序列当中，最后一个位置是下降的最长摆动序列的长度

  2. 状态转移方程

    gspg67wwyn-1690785946044.png

  3. 初始化

    表中的所有值初始化为1

  4. 填表

    从左到右

  5. 返回值

    返回两个表中的最大值

AC代码:

class Solution 
{
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n, 1), g(n, 1);
        int ret = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                if (nums[i] > nums[j]) f[i] = max(f[i], g[j] + 1);
                else if (nums[i] < nums[j]) g[i] = max(g[i], f[j] + 1);
            }
            ret = max(ret, max(f[i], g[i]));
        }
        return ret;
    }
};

3. 最长递增子序列的个数

题目链接

这里需要用到一种思想：

如何一次遍历数组，就可以找到最大数出现的次数

代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
	int arr[] = {2, 3, 1, 234, 43, 342, 234, 5, 34, 43, 8, 342};
	int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
	int maxval = 0;
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (arr[i] > maxval) maxval = arr[i], count = 1;
		else if (arr[i] == maxval) count++;
	}
	cout << maxval << endl;
	cout << count << endl;
	return 0;
}

  1. 状态表示

    len[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中，最长递增子序列的长度

    count[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中，最长递增子序列的个数

  2. 状态转移方程

    c46gcsfr8s-1690789206047.png

  3. 初始化

    所有值都初始化为1

  4. 填表

    从左到右

  5. 返回值

    count表最后一个

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> len(n, 1), count(n, 1);
        int retval = 1, retcount = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                if (nums[i] > nums[j])
                {
                    if (len[j] + 1 > len[i]) len[i] = len[j] + 1, count[i] = count[j];
                    else if (len[j] + 1 == len[i]) count[i] += count[j];
                }
            }
            if (retval == len[i]) retcount += count[i];
            else if (retval < len[i]) retval = len[i], retcount = count[i];
        }
        return retcount;
    }
};

4. 最长数对链

题目链接

分析：状态表示以某个位置为结尾的时候，后面的元素不能影响当前的填表，但是这个题目已经影响打了，所有需要将数组排序

  1. 状态表示

    dp[i]表示以 i 位置为结尾的所有数对链当中，最长的数对链的长度

  2. 状态转移方程

    wlx9ovlysc-1690791040047.png

  3. 初始化

    所有初始化为1

  4. 填表

    从做到右

  5. 返回值

    返回整个表的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) 
    {
        sort(pairs.begin(), pairs.end());
        int n = pairs.size();
        vector<int> dp(n, 1);
        int ret = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) 
                {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

5. 最长定差子序列

题目链接

  1. 状态表示

    dp[i]表示到 i 位置时，所有的子序列当中最长的定差子序列的长度

  2. 状态转移方程

    iq9hs9xm3z-1690797357059.png

  3. 初始化

    将第一个元素对应的dp值初始化为1

  4. 填表

    从左到右

  5. 返回值

    返回整个dp表里的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) 
    {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[arr[0]] = 1;
        int ret = 1;
        for (int i = 1; i < arr.size(); i++)
        {
            hash[arr[i]] = hash[arr[i] - difference] + 1;
            ret = max(ret, hash[arr[i]]);
        }
        return ret;
    }
};

6. 最长的斐波那契子序列的长度

题目链接

  1. 状态表示

    dp[i][j]表示以 i j 为结尾的所有子序列当中，最长的斐波那契数列的长度

  2. 状态转移方程

    uxobxtvs2s-1690810152050.png

    优化：将数组的元素和下标绑定，方便查找

  3. 初始化

  4. 填表

  5. 返回值

    返回值可能小于3， 这是应该返回0

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) 
    {
        int n = arr.size();
        unordered_map<int, int> hash;
        for (int i = 0; i < n; i++) hash[arr[i]] = i;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));
        int ret = 2;
        for (int j = 2; j < n; j++) // 固定最后一个位置
        {
            for (int i = 1; i < j; i++)
            {
                int a = arr[j] - arr[i];
                if (a < arr[i] && hash.count(a))
                {
                    dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;
                }
                ret = max(ret, dp[i][j]);
            }
        }
        return ret < 3 ? 0 : ret;
    }
};

7. 最长等差数列

题目链接

  1. 状态表示

    dp[i][j] 表示 以 i j 为结尾的所有子序列当中最长的等差子序列的长度

  2. 状态转移方程

    n4g2m6wqhs-1690814489176.png

    优化：一边dp一边保存离它最近元素的下标，当 i 位置填完之后将它填入哈希表中即可。所以需要先固定第倒数第二个元素，接着固定倒数第一个元素

  3. 初始化

  4. 填表

  5. 返回值

    返回是整个dp表里的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int longestArithSeqLength(vector<int>& nums) 
    {
        unordered_map<int, int> hash;
        int n = nums.size();
        hash[nums[0]] = 0;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));
        int ret = 2;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                int a = 2 * nums[i] - nums[j];
                if (hash.count(a))
                {
                    dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;
                }
                ret = max(ret, dp[i][j]);
            }
            hash[nums[i]] = i;
        }
        return ret;
    }
};

8. 等差数列划分 || - 子序列

题目链接

  1. 状态表示

    dp[i][j]表示以 i j 为是等差数列的子序列的个数

  2. 状态表示

    n4g2m6wqhs-1690814489176.png

  3. 初始化

  4. 填表

  5. 返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        unordered_map<long long, vector<int>> hash;
        for (int i = 0; i < n; i++) hash[nums[i]].push_back(i);
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        int sum = 0;
        for (int j = 2; j < n; j++) // 固定倒数第一个
        {
            for (int i = 1; i < j; i++)
            {
                long long a = (long long)nums[i] * 2 - nums[j];
                if (hash.count(a))
                {
                    for (auto k : hash[a])
                    {
                        if (k < i) dp[i][j] += dp[k][i] + 1;
                        else break;
                    }
                }
                sum += dp[i][j];
            }
        }
        return sum;
    }
};

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