数值线性代数: 共轭梯度法

news2025/10/29 4:42:42

本文记录共轭梯度噶求解线性方程组的原理及流程。

零、预修

0.1 LU分解

设\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}，若对于k\in \left [ 1,n-1 \right ]，均有\left | \boldsymbol{A}\left ( 1:k,1:k \right ) \right |\neq 0，则存在下三角矩阵\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}和上三角矩阵\boldsymbol{U} \in\mathbb{R}^{n\times n}，使得\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}。

设\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}，若对于k\in \left [ 1,n \right ]，均有\left | \boldsymbol{A}\left ( 1:k,1:k \right ) \right |\neq 0，则存在唯一的下三角矩阵\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}和上三角矩阵\boldsymbol{U} \in\mathbb{R}^{n\times n}，使得\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}，并且\left |A \right |=U\left ( 1,1 \right )U\left ( 2,2 \right )\cdots U\left ( n,n \right )。

0.2 Cholesky分解

若\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角矩阵\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}，使得\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^{T}。

参考资料

Gene H. Golub. Matrix Computations

徐树方. 数值线性代数(第二版).  北京大学出版社, 2010.

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