目录
- 一、带通采样定理
- 1.1 内容
- 1.2 公式推导
- 二、MATLAB信号仿真
- 2.1 信号仿真实验
- 2.2 MATLAB代码
- 三、总结
- 参考
一、带通采样定理
按照奈奎斯特采样定理(低通采样)，采样频率 f s f_{s} fs 要大于等于信号中最高频率 f m a x f_{max} fmax 的2倍，才可以保证采样后的数字信号通过DAC转换后，可以无失真的恢复为原信号。然而，如果信号的频率分布在某一有限频带上，并且信号的最高频率 f m a x f_{max} fmax 远大于信号的带宽 B B B（带通信号），若此时仍依据低通采样定理进行处理，则需要特别高的采样率，一方面会导致后续信号处理的计算量极大，无法保证数字信号处理的实时性；另一方面，ADC器件的性能受限，无法实现对应的采样频率。因此，需要一种适用于带通信号的采样方式，以达到上述要求。
1.1 内容
带通采样定理：设一时间连续的模拟信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)，其频带限制在(
f
L
f_{L}
fL，
f
H
f_{H}
fH)内，如果信号的采样频率满足：
f
s
=
2
(
f
L
+
f
H
)
2
m
−
1
=
4
f
0
2
m
−
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(
1
−
1
)
f_{s}=\frac{2(f_{L}+f_{H})}{2m-1}=\frac{4f_{0}}{2m-1} ---------(1-1)
fs=2m−12(fL+fH)=2m−14f0−−−−−−−−−(1−1)
f
s
≥
=
2
(
f
H
−
f
L
)
=
2
B
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(
1
−
2
)
f_{s}≥=2(f_{H}-f_{L})=2B-----------(1-2)
fs≥=2(fH−fL)=2B−−−−−−−−−−−(1−2)
式中，
f
0
=
(
f
L
+
f
H
)
2
f_{0}=\frac{(f_{L}+f_{H})}{2}
f0=2(fL+fH) 为带通信号的中心频率，
B
=
f
H
−
f
L
B=f_{H}-f_{L}
B=fH−fL为信号的带宽，
m
=
1
,
2
,
.
.
.
m=1,2,...
m=1,2,...，取可以满足以上两式的正整数。
则此时用
f
s
f_{s}
fs 进行等间隔采样所得到的信号采样值可以不失真的恢复为原始信号。
1.2 公式推导
二、MATLAB信号仿真
2.1 信号仿真实验
以64KHz的采样频率对3KHz和67KHz的信号进行采样，采样后信号的频率会怎么样呢？
可以发现，利用采样频率为64KHz对67KHz的信号进行采样，采样后的信号波形与3KHz的信号波形一致，说明采样后信号的频谱进行了搬移，即67-64=3。
2.2 MATLAB代码
clc;
clear;
close all;
fs = 64000; % 采样频率
f1 = 3000;
f2 = 67000;
N = 100; % 数据长度
t = (0:N-1)/fs;
x1 = sin(2*pi*f1*t);
x2 = sin(2*pi*f2*t);
figure;
subplot(2,1,1);plot(t,x1);title('f1 = 3KHz');
subplot(2,1,2);plot(t,x2);title('f2 = 67KHz');
三、总结
（1）采样的本质是对信号的频谱进行搬移，最根本的要求就是采样后信号的频谱不混叠。
（2）低通采样定理要求采样频率
f
s
f_{s}
fs 要大于等于信号中最高频率
f
m
a
x
f_{max}
fmax 的2倍，而带通采样的采样频率与信号的最高频率没有关系，只与信号的带宽有关。
（3）带通采样定理中采样频率的取值是不连续的分段区间，而不同于低通采样信号的最小采样频率。
（4）带通采样的采样频率最小可等于信号带宽的2倍，实际工程应用中常取信号带宽的4倍或更高。
参考
[1] 王坡. PD雷达信号处理关键算法研究与实现[D].南京信息工程大学,2019.DOI:10.27248/d.cnki.gnjqc.2019.000075.
[2] 工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理]
[3] 陈伯孝, 等. 现代雷达系统分析与设计[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2012.9.
