融合自适应惯性权重和柯西变异的秃鹰搜索算法(CBES)

摘要：针对基本秃鹰搜索算法存在收敛速度慢、易陷入局部最优的缺点，提出了一种融合自适应惯性权重和柯西变异的秃鹰搜索算法(CBES).首先使用Tent混沌映射初始化种群，保留了种群的多样性；其次，引入自适应惯性权重，加快算法的收敛速度，增强算法的局部开发能力；最后将柯西变异算子整合到当前全局最优位置进行变异更新，提高算法陷入局部最优的能力.

1.秃鹰优化算法

基础秃鹰优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/113775430

2.改进秃鹰优化算法

2.1 Tent 映射

文章使用 Tent 映射来初始化种群, Tent 映射的表达式 如下所示:
$$x_{i+1}=\{\begin{array}{rc}2x_i,& 0\le x\le \frac{1}{2}\\ 2\left(1-x_i\right),& \frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$
即经过贝努利移位变换后表达式如下:
$$x_{i+1}=\left(2x_i\right)\mathrm{mod}1\text{\hspace{1em}(18)}$$
Tent 混沌映射初始化种群产生序列的具体步骤如下:
Step1: 在区间 $(0,1)$ 内随机产生初始值 $x_0$, 记作 $i=$ 0 ;

Step2: 根据式 (17) 进行迭代运算产生一个新的 $x$ 序 列, 且 $i=i+1$;

Step3: 当 $i$ 达到最大迭代次数时, 则停止迭代, 且将 迭代产生的 $x$ 序列保存下来。

2.2 自适应惯性权重

本文提出了新的自适应权重 的方法, 自适应惯性权重公式如下:
$$w=\sin \left(\pi +\frac{t}{2t_{\max }}\times \pi \right)+\frac{\left(w_{\max }+w_{\min }\right)}{2}\text{\hspace{1em}(19)}$$
其中, $t$ 表示当前迭代数; $t_{\text{max }}$ 是设置的种群最大 迭代次数; $w_{\text{max }}$ 是初始惯性权重, 在文中取值为 0.92 ; ; $w_{\text{min }}$ 是秃鹰种群最大迭代次数时的惯性权重, 在文中取 值为 0.4 。将惯性权重因子引入秃鹰搜索优化算法中, 在探 索阶段, 秃鹰的位置更新的表达式如下:
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{P}}_{i,\text{ new }}=\mathbf{w}\times {\mathbf{P}}_{\mathbf{i}}+\mathbf{x}(\mathbf{i})\times \left(\mathbf{w}\times {\mathbf{P}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{P}}_{\text{mean }}\right)+\mathbf{y}(\mathbf{i})\times (\mathbf{w}\times \\ & {\mathbf{P}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{P}}_{i+1})\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$

2.3 柯西变异

针对秃鹰算法易陷入局部极值的缺点, 本文在原有的算 法中融入柯西变异算子, 改善算法的全局搜索能力, 扩大搜 索空间。柯西分布是一种在概率论中常见的连续型概率分布, 柯西分布在原点处的概率密度较大, 两端处的密度较小; 两 端的形状又长又扁。正因此特点可以通过融入柯西变异对秃 鹰个体产生较大的扰动, 使得算法更容易跳出局部最优值 ${}^{[2]]}$ 。 标准的柯西分布概率密度函数公式如下:
$$f(x)=\frac{1}{\pi }\times \frac{1}{\left(x^2+1\right)},-\infty <x<+\infty \text{\hspace{1em}(21)}$$
柯西分布从峰值下降至两侧时相对平缓, 且峰值相对较 小, 在变异后秃鹰种群会在搜索相邻空间时使用较少的时间, 将主要精力花费在寻找全局最优值上。使用式 (22) 对搜索空 间猎物阶段获得的全局最优值进行变异处理:
$$P_{\text{new },\text{ best }}=P_{\text{best }}+P_{\text{best }}\times \mathrm{Cauchy}(0,1)\text{\hspace{1em}(22)}$$
CBES 算法具 体实现流程如下所示:

Step1：设置并初始化算法参数, 其中包含种群的规模 $\mathrm{N}$, 最大迭代次数 $t_{\text{max }}$, 目标函数的维度以及初始值的边界 条件。

Step2: 使用 2.1 节中的 Tent 混沌映射对种群进行初始 化, 按照适应度函数求出每只秃鹰的适应度值, 对所有秃鹰 的适应度值排序, 找出当前种群的全局最优位置。

Step3：在秃鹰选择搜索阶段, 按照公式 (1) 进行位置 跟新。

Step4: 在秃鹰搜索空间猎物阶段, 按照公式 (20) 进 行位置更新。

Step5: 在俯冲阶段, 按照公式 (22) 对上一个步骤得 到的全局最优解进行柯西变异处理, 再将得到的结果按照公 式（16）进行秃鹰的位置更新。

Step6: 更新秃鹰种群的最优个体位置与适应度值, 更 新算法的迭代次数。判断算法是否满足设置的最大迭代次数 或者精度要求, 若满足, 则终止算法, 输出适应度最优值及 最优解; 若没有, 则返回 Step3 进行循环。

3.实验结果

4.参考文献

[1]丁容,高建瓴,张倩.融合自适应惯性权重和柯西变异的秃鹰搜索算法[J].小型微型计算机系统,2023,44(05):910-915.DOI:10.20009/j.cnki.21-1106/TP.2021-0748.

5.Matlab代码

6.python代码