Problem - E2 - Codeforces

题目大意：在无向图中，初始有一个点，然后将k个点连接到1号点上，之后每次操作分别将k歌点连接到之前新加的点上，这样的操作至少有1次，t次询问，每次询问给出一个数n，问n能否是某个符合上述条件的图的总点数

k>1;1<=t<=1e4;1<=n<=1e18

思路：我们令每张合法图的总点数为s,操作的次数（包括第一次连接k歌点到1号点）为i。因为s=1+k+k*k+k*k*k+...+k的i次方，可以看出这是一个等比数列，利用前n项和公式，得出 ，因为s最大是1e18，所以i理论最大值是62左右（赛后实际测出的最大值是58），k的最大值可以认为约等于1e9（因为优化效率极低，所有没有测k的最大值），这样我们可以枚举i，然后二分k，因为很明显i相同时，k越大，s越大，反之亦然，用s作为约束条件，这样的时间复杂度就是O(t*i*log1e9*log2i)，2s可以稳过。但要注意在计算k的i+1次方时会爆__int128，需要用unsigned __int128

//#include<__msvc_all_public_headers.hpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
typedef unsigned __int128 ll;
ll qpow(ll a, ll b)
{//快速幂
	ll ret = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			ret = ret * a ;
		}
		b >>= 1;
		a = a * a ;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		long long  n;
		cin >> n;
		int ans = 0;
		for (ll i = 2; i <= 58; i++)
		{//枚举操作次数
			ll l = 2, r = 1000000000;
			ll mid;
			while (l <= r)
			{//二分k
				mid = (l + r) >> 1;
				ll s = (qpow(mid, i + 1) - 1) / (mid - 1);//直接求等差数列前i项和
				if (s > n)
				{
					r = mid - 1;
				}
				if (s < n)
					l = mid + 1;
				if (s == n)
				{//找到n直接退出
					ans = 1;
					break;
				}
			}
			if (ans)
				break;
		}
		cout << (ans ? "YES" : "NO") << endl;
	}
	return 0;
}