案例1 一阶线性插值

待加工零件外形根据工艺要求在一组数据(x,y)给定（如下表），用程控铣床加工时每一刀只能沿着x方向或y方向走非常小的一步，需要从已知数据得到加工步长很小的(x,y)的坐标。

下表中所给x,y数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到x坐标改变值为0.1的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，并求出x=0处曲线斜率和13≤x≤15范围内的y的最小值。

要求：（1）用分段线性插值法；（2）三次样条插值法.

插入点数据表

x	0	3	5	7	9	11	12	13	14	15
y	0	1.2	1.7	2.0	2.1	2.0	1.8	1.2	1.0	1.6

【符号设置】

x0,y0 插入节点，即表1中已知数据；
待插数据，x=0:0.1:15；
y 待插数据对应的纵坐标值；
k0 表示x=0处的曲线斜率（即导数）；
Ymin 表示13≤x≤15范围内的y的最小值。

【数学模型1】线性插值公式

在x=0出的斜率的计算公式为

【模型1求解】

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y=interp1(x0,y0,x);
plot(x0,y0,'*',x,y,'+-')
dy=diff(y);
dx=diff(x);
dy_dx=dy./dx;
k0=dy_dx(1);
x1=x(x<=15&x>=13);
y1=y(x<=15&x>=13);
Ymin=min(y1);
yindex=find(y1==Ymin);
Xmin=x1(yindex);
[Xmin,Ymin,k0]

注：`dy = diff(y)` 是一个求解差分的函数，用于计算给定向量 y 的差分。

差分是指计算向量中相邻元素之间的差异。通过对 y 中的元素进行逐个相减，可以得到一个新的向量 dy，其长度比 y 少 1。换句话说，dy 中的每个元素都是 y 中相邻元素的差值。

差分常用于处理时间序列数据或离散数据，可以提供关于数据趋势、变化率和离散程度等方面的信息。通过计算差分，我们可以获得连续数据点之间的变化量，从而进行进一步的数据分析和处理。

根据计算，x=0处的斜率为k0=0.4；

当13<x<15时，y的最小值是Ymin=1，此时对应的横坐标为Xmin=14.

【数学模型2及其求解】三次样条插值

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y1=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y2=fnval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y3=fnval(pp2,x);
subplot(2,1,1);
plot(x,y1,'*-');
title('spline');
subplot(2,1,2);
plot(x,y3,'+-');
title('second');
dy=diff(y1);
dx=diff(x);
dy_dx=dy./dx;
k0=dy_dx(1);
yf=y1(131:end);
xf=x(131:end);
Ymin=min(yf);
Xmin=xf(yf==Ymin);
[Xmin,Ymin,k0]

注：`y1 = interp1(x0, y0, x, 'spline')` 和 `pp1 = csape(x0, y0)` 都是用于进行数据插值的函数，但是它们使用不同的插值方法和返回不同的结果。

`interp1` 函数使用的是插值方法中的样条插值，通过在已知数据点之间构建光滑的曲线来进行插值。在代码中，`'spline'` 是插值方法的参数，表示使用三次样条曲线进行插值。`interp1` 函数根据已知数据点 `(x0, y0)` 和待插值的自变量 `x`，计算对应的插值结果 `y1`。

`csape` 函数则使用的是样条插值的另一种形式，称为分段样条插值。它通过构建一组分段的三次多项式曲线来进行插值。在代码中，`csape` 函数的返回值 `pp1` 是一个样条插值对象，它包含了构建的分段样条曲线的相关信息。

相比较而言，`interp1` 函数使用起来更加简单，直接给出了插值结果。而 `csape` 函数则返回一个对象，需要进一步使用其他函数或方法来进行插值计算或求导等操作。使用 `csape` 函数可以更加灵活地控制插值过程，例如可以进行边界条件的设定或者选择不同的插值方法等。